MATEMÁTICAS EN FÍSICA

Bienvenidos estudiantes, con el fin de fundamentar elementos de matemáticas necesarios para el desarrollo de la FÍSICA 1 y 2, estas BASES apoyadas en los derechos básicos de aprendizaje para GRADO NOVENO nos pueden ser muy útiles.

Inicialmente revisemos los derechos básicos de aprendizaje en MATEMÁTICAS  para GRADO NOVENO:

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE GRADO NOVENO:

Utiliza los números reales (sus operaciones, relaciones y propiedades) para resolver problemas con expresiones polinómicas.

Evidencias de aprendizaje

Considera el error que genera la aproximación de un número real a partir de números racionales.

Identifica la diferencia entre exactitud y aproximación en las diferentes representaciones de los números reales.

Construye representaciones geométricas y numéricas de los números reales (con decimales, raíces, razones, y otros símbolos) y realiza conversiones entre ellas.

Propone y desarrolla expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales y utiliza las propiedades de la igualdad y de orden para determinar el conjunto solución de relaciones entre tales expresiones.

Evidencias de aprendizaje

Identifica y utiliza múltiples representaciones de números reales para realizar transformaciones y comparaciones entre expresiones algebraicas.

Establece conjeturas al resolver una situación problema, apoyado en propiedades y relaciones entre números reales.

Determina y describe relaciones al comparar características de gráficas y expresiones algebraicas o funciones.

Utiliza los números reales, sus operaciones, relaciones y representaciones para analizar procesos infinitos y resolver problemas.

Evidencias de aprendizaje

Encuentra las relaciones y propiedades que determinan la formación de secuencias numéricas.

Determina y utiliza la expresión general de una sucesión para calcular cualquier valor de la misma y para compararla con otras sucesiones.

Identifica y utiliza relaciones entre el volumen y la capacidad de algunos cuerpos redondos (cilindro, cono y esfera) con referencia a las situaciones escolares y extraescolares.

Evidencias de aprendizaje

Estima la capacidad de objetos con superficies redondas.

Construye cuerpos redondos usando diferentes estrategias.

Compara y representa las relaciones que encuentra de manera experimental entre el volumen y la capacidad de objetos con superficies redondas.

Explica la pertinencia o no de la solución de un problema de cálculo de área o de volumen, de acuerdo con las condiciones de la situación.

Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Tales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.

Evidencias de aprendizaje

Describe y justifica procesos de medición de longitudes.

Explica propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

Justifica procedimientos de medición a partir del Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras y relaciones intra e interfigurales.

Valida la precisión de instrumentos para medir longitudes.

Propone alternativas para estimar y medir con precisión diferentes magnitudes.

Conjetura acerca de las regularidades de las formas bidimensionales y tridimensionales y realiza inferencias a partir de los criterios de semejanza, congruencia y teoremas básicos.

Evidencias de aprendizaje

Reconoce regularidades en formas bidimensionales y tridimensionales.

Explica criterios de semejanza y congruencia a partir del teorema de Tales.

Compara figuras geométricas y conjetura sobre posibles regularidades.

Redacta y argumenta procesos llevados a cabo para resolver situaciones de semejanza y congruencia de figuras.

Interpreta el espacio de manera analítica a partir de relaciones geométricas que se establecen en las trayectorias y desplazamientos de los cuerpos en diferentes situaciones.

Evidencias de aprendizaje

Describe verbalmente procesos de trayectorias y de desplazamiento.

Explica y representa gráficamente la variación del movimiento de diferentes objetos.

Utiliza expresiones numéricas, algebraicas o gráficas para hacer descripciones de situaciones concretas y tomar decisiones con base en su interpretación.

Evidencias de aprendizaje

Opera con formas simbólicas que representan cantidades.

Reconoce que las letras pueden representar números y cantidades, y que se pueden operar con ellas y sobre ellas.

Interpreta expresiones numéricas, algebraicas o gráficas y toma decisiones con base en su interpretación.

Utiliza procesos inductivos y lenguaje simbólico o algebraico para formular, proponer y resolver conjeturas en la solución de problemas numéricos, geométricos, métricos, en situaciones cotidianas y no cotidianas.

Evidencias de aprendizaje

Efectúa exploraciones, organiza los resultados de las mismas y propone patrones de comportamiento.

Propone conjeturas sobre configuraciones geométricas o numéricas y las expresa verbal o simbólicamente.

Valida las conjeturas y explica sus conclusiones.

Interpreta expresiones numéricas y toma decisiones con base en su interpretación.

Propone un diseño estadístico adecuado para resolver una pregunta que indaga por la comparación sobre las distribuciones de dos grupos de datos, para lo cual usa comprensivamente diagramas de caja, medidas de tendencia central, de variación y de localización.

Evidencias de aprendizaje

Define el método para recolectar los datos (encuestas, observación o experimento simple) e identifica la población y el tamaño de la muestra del estudio. m Construye diagramas de caja y a partir de los resultados representados en ellos describe y compara la distribución de un conjunto de datos.

Compara las distribuciones de los conjuntos de datos a partir de las medidas de tendencia central, las de variación y las de localización.

Elabora conclusiones para responder el problema planteado

Encuentra el número de posibles resultados de experimentos aleatorios, con reemplazo y sin reemplazo, usando técnicas de conteo adecuadas, y argumenta la selección realizada en el contexto de la situación abordada. Encuentra la probabilidad de eventos aleatorios compuestos.

Evidencias de aprendizaje

Diferencia experimentos aleatorios realizados con reemplazo, de experimentos aleatorios realizados sin reemplazo.

Encuentra el número de posibles resultados de un experimento aleatorio, usando métodos adecuados (diagramas de árbol, combinaciones, permutaciones, regla de la multiplicación, etc.).

Justifica la elección de un método particular de acuerdo al tipo de situación.

Encuentra la probabilidad de eventos dados usando razón entre frecuencias.

PLAN DE TRABAJO

Temáticas (semanas) Contenidos
Elaborando ecuaciones algebraicas Expresiones algebraicas en un texto

·         Situaciones de suma y resta

·         Situaciones de multiplicación y división

·         Situaciones de potenciación y radicación

Expresiones algebraicas en geometría

·         Agrupación de áreas

·         Áreas sombreadas

·         Triángulos

·         Teorema de Tales de Mileto

·         Teorema de Pitágoras

Representaciones algebraicas

·         En la recta numérica

·         En el plano cartesiano

·         En perspectiva

 

Simplificando ecuaciones algebraicas Factorización
Solucionando ecuaciones algebraicas Despeje de incógnitas
Métodos de solución ecuaciones de primer grado
Métodos de solución ecuaciones simultáneas de primer grado
Métodos de solución ecuaciones de segundo grado
Estadística y probabilidad Expresiones algebraicas en Estadística

 

 

SITUACIONES REALES Y EXPRESIONES MATEMÁTICAS

Cada vez que se enuncia un problema o DESCRIBIMOS UNA SITUACIÓN DEL MUNDO QUE NOS RODEA escribimos un texto, un texto que se puede interpretar en ecuaciones, si reconocemos las variables y los valores.

Iniciemos con algo sencillo:

Si yo digo EN LA MALETA TENGO CINCO COLORES Y UN LAPIZ

Podría interpretar la MALETA como el lugar donde se encuentran unidos los COLORES y el LAPIZ.

Los COLORES puedo interpretarlos como una variable, la letra que yo escoja, puede ser la C que es la primera de la palabra COLORES, es decir que en la MALETA tengo 5C (5 colores).

El LAPIZ igualmente lo puedo interpretar y representar con la L, es decir que en la MALETA tengo 1L (1 Lápiz).

Igualmente podría deducir que en la MALETA tengo en total la UNION de los 5 Colores y 1 Lápiz, es decir una SUMA.

De Esta forma el TEXTO:

EN LA MALETA TENGO CINCO COLORES Y UN LAPIZ = 5C + 1L = 5C + L

Recordando que el número 1 antes de una letra según las características del álgebra no se escribe.

A partir de este hecho, TODA SITUACIÓN  PUEDE LLEVARSE A UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA.

Vamos entonces a escribir varios texto en forma de expresión matemática, aquí toca que recuerdes cada operación matemática que has realizado hasta el momento.

SITUACIONES  QUE IMPLICAN SUMAS Y RESTAS

1) La suma de las edades de A y B es 56 años, B tiene 4 años menos que A.

A+B= 56    A – 4 = B

2)  Pagué 300 por un par de medias, una corbata y un libro. La corbata costó 40 más que el par de medias y 120 menos que el libro.

M = par de medias       (Aquí estamos identificando las variables con una letra!)

C = Corbata

L = Libro

M + C + L = 300

C = M + 40

C = L – 120

3) La suma de tres números enteros consecutivos es de 200.

A = número menor

B = número intermedio (B = A + 1)

C = número mayor (C = B + 1) (C = A + 2)

A + B + C = 200

SITUACIONES QUE IMPLICAN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

4) La edad de A es el doble que la de B y ambas edades suman 20 años.

A = 2B       A + B =  20

5) Se compran huevos, queso y leche por $3500. La leche costó el doble que el queso  y el queso costó el triple que los huevos.

X= precio de los huevos

Y= precio del queso

Z= precio de la leche

X + Y + Z = 3500

Z = 2Y

Y = 3X

 

6) La edad de José es la mitad de la de Pedro, y la de Juan el triple que la de José. Y las tres edades suman 125 años.

A = la edad de José

B = la edad de Pedro

C = la edad de Juan

A = B/2

C = 3 A

A + B + C = 125

 

7) Dividir 150 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivale al duplo de la mayor.

A = parte mayor

B = parte menor

A + B = 150

3B = 2 A

 

8) La edad de A es el doble de la B y hace 15 años la edad de A era el triple de la de B.

A = 2B

A – 15 = 3B

 

9) Se compraron 60 frutas entre naranjas y manzanas. Cada naranja costó $40 y cada manzana $85. El total de la compra fue de $5600.

N = número de naranjas

M = número de manzanas

N + M = 60

40N + 85M = 5600

 

10) El duplo de un número excede en 30 al tercio del mismo número.

X = el número

1

11) La suma de dos números es 50 y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5.

X = número menor

Y = número mayor

X + Y = 50

2

 

12) Juan tenía cierta suma de dinero. Gastó $20 en libros y los dos tercios  de lo que le quedaba en lápices. Le quedan todavía $35.

X = suma de dinero inicial

3

 

13) La edad de X es la mitad de la de Y, y hace 10 años la edad de X era cinco cuartos de la edad de Y.

4

14) La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 metros. Si cada dimensión se aumenta en 2 metros, el área aumentaría en 60 metros cuadrados.

Debemos recordar la fórmula del área de un rectángulo:

5

B = A + 3

(A + 2)(B + 2) = C + 60

 

15) La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 2 a la cifra de las unidades y si el número se divide por la suma de sus cifras, su cociente es 5.

X = cifra de las unidades

Y = cifra de las decenas

Y= 10(X + 2)

Número = X + 10 (X+2)

6

 

SITUACIONES QUE IMPLICAN POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

16) X es dos años mayor que Y y la suma de los cuadrados de ambas edades es 100 años

X = Y + 2

7

17) El producto de dos números es 30 y su cociente es 5.

X = primer número

Y = segundo número

XY = 30

8

 

GEOMETRÍA Y EXPRESIONES MATEMÁTICAS

Todo objeto del mundo tiene una configuración llamada FORMA que es considerada en la ciencia como una propiedad o una variable de algo que llamamos MATERIA en cualquiera de sus estados FÍSICOQUIMICOS.

La comprensión que hace de la naturaleza la ciencia, acerca de este concepto de FORMA (Ver CONCEPTUALIZANDO1)  es tratado por la matemática a partir de la GEOMETRÍA. Para nuestro interés realizaremos mediciones en una dimensión (perímetros), en dos dimensiones (áreas) y en tres dimensiones (volumen) de la FORMA de ciertos objetos.

Obviamente en algunos casos utilizaremos TEOREMAS (THALES DE MILETOS, PITÁGORAS) como recursos para hallar datos que desconocemos.

PERÍMETROS

Inicialmente recordemos que un PERÍMETRO es la suma LINEAL de todos los lados que forman una figura geométrica, el concepto básico se calcula mediante las fórmulas que se encuentran en la siguiente figura, pero tú igualmente lo puedes deducir.

Imagen relacionada

Tomado de: https://www.slideshare.net/AmarinoMoisesLaraGonzalez/formula-poligonos

En los POLÍGONOS REGULARES es decir aquellos cuyos lados son iguales, simplemente el PERÍMETRO puede ser hallado sumando el tamaño de cada lado (que es igual) un número de veces igual a su número de lados. Esta operación de SUMA se puede SIMPLIFICAR en una operación de MULTIPLICACIÓN para este caso.

En los TRIÁNGULOS hay varias formas de obtener el PERÍMETRO:

Tomado de: https://matematica.laguia2000.com/general/perimetro-de-figuras-plana

Que tanto sabemos del TRIANGULO??

TALES DE MILETOS  y la fuente de inspiración

Algunas veces pensamos que la ciencia nace de los genios, de personas predestinadas y aún de países cuya tradición científica se remonta siglos atrás, sin embargo no todo es producto de un destino demarcado; como veremos en está historia… a veces los genios no nacen “como se cree popularmente” sino que se hacen.

La historia biográfica de TALES DE MILETOS es de fácil acceso en cualquier página de internet, lo que interesa a la física tiene que ver con el proceso de generación de ciencia, proceso que inicia este personaje en su juventud de acuerdo a variadas referencias (Diaz, 2002, p. 13) como comerciante en su juventud y que le permite viajar por países de frontera a su ciudad natal Miletos ubicada en pleno centro del imperio Griego : la península de anatolia (actual Turquía), ya podemos imaginarnos este universo rodeado de transeúntes que venían de oriente hacia occidente y viceversa, trayendo historias, inventos y porque no ciencia.

La visión de Hecateo  en su mapa de un mundo circular y  armónico,  influiría cualquier concepción juvenil y animaría a un viajero a desear rodear ese mundo.

Ecateo

TALES DE MILETOS  viaja a Caldea y a Egipto donde recibirá la influencia de estas cosmologías en su pensamiento tal como afirma Josefo ((D-K 11 A 11) Josefo, Contra Apionem I, 2):

“Todos están de acuerdo en que los primeros que entre los griegos filosofaron sobre las cosas celestes y divinas, como Ferécides de Siro, Pitágoras y Tales, fueron discípulos de los egipcios y caldeos”(Tomado de: http://www.filosofia.org/cur/pre/talesfyt.htm)

En Caldea, reino de Mesopotamia no era extraño que el estudio por la astronomía llegara a Tales, los caldeos eran prácticamente en este aspecto adoradores de los planetas como se afirma en algunos pasajes de la Biblia (Martin, 2009, p. 251), la impresionante distribución del espacio geométrico aplicado a la construcción de estas ciudades en Mesopotamia nos hace dar cuenta de la ordenada aparición de la civilización.

Una escritura como la cuneiforme y las tablillas que nos muestran tantos indicios de civilización solo confirman la influencia del pensamiento oriental en el pensamiento occidental.

Observar en estos documentos,  de los cuales posiblemente Tales de Miletos también tuvo conocimiento, nos puede abrir la mente al origen de muchas posturas de los griegos de origen Fenicio.

Tablilla de Sitchin. Tomado de : http://www.taringa.net

Observar la tablilla anterior nos hace nuevamente pensar en el sistema heliocéntrico que tanto defendería Giordano Bruno, Copérnico  y Galileo Galilei entre otros. Las culturas Mesopotámicas a ciencia cierta tenían un conocimiento del cosmos que influiría a todo occidente.

Como si fuera poco, Tales de Miletos viaja a Egipto. Las impresionantes pirámides serán la inspiración de su primer teorema.

La siguiente infografía nos brinda una relación entre el teorema de tales de miletos y su analogía con las pirámides:

tales

El triángulo es desde tiempos muy remotos una figura esencial en el estudio de la matemáticas, la geometría y aunque no lo creas en la filosofía y hasta las religiones.

triangulo sagrado

Imagen relacionada

Tomado de: https://www.slideshare.net/luisubiabre1/tabla-teorema-de-thales

EJERCICIOS 1

Ejercicios: https://www.slideshare.net/xto316/teorema-de-thales-prueba-rocket?next_slideshow=1

PITAGORAS y su teorema

aunque PITAGORAS DE SAMOS (569 – 475 a.c.) haría muy famosa esta figura geométrica ya existían vestigios de su fama en otras culturas:

pitagoras antes 1

salvasutras

Pitagoras es conocido por todos y su ecuación ( esta ecuación es fundamental en la física y la trigonometría):

PITAGORAS

Y estudiada durante mucho tiempo:

piagoras de todo tiempo

Luego de la historia, calculemos el valor de los lados del triángulo rectángulo, empleando el teorema de Pitágoras.

EJERCICIOS  2

Tomado de: http://demostremosloaprendido.blogspot.com.co/2014/08/teorema-de-pitagoras.html

HIPASO DE METAPONTO….y el teorema de pitágoras

Usualmente se suele pensar que el nombre de los teoremas es debido a su autor. Si escuchamos continuamente que se llama teorema de PITÁGORAS es porque este personaje lo inventó.

Sin embargo como vimos en las imágenes anteriores mucho tiempo antes del nacimiento de PITÁGORAS esta relación entre los lados de un triangulo rectángulo y su hipotenusa era ya estudiada. Mas curioso aún que en la famosa ESCUELA PITAGÓRICA pudiese ser posible que el verdadero autor del teorema no fuera PITÁGORAS sino uno de sus discípulos, un tal HIPASO DE METAPONTO.  La verdad queda para que tu la indagues.

En este capítulo me interesa que sepas que HIPASO DE METAPONTO se hizo una pregunta bastante interesante con el teorema…¿ Si los lados del triangulo rectángulo tienen el mismo valor a la unidad, cuanto vale la hipotenusa?

31

 

Tomado de: http://matesparasaltamontes.blogspot.com.co/2016/02/hipaso-de-metaponto.html

Pues como se puede ver en la imagen al aplicar el famoso teorema nos encontramos conque el resultado es una raíz, del número dos en este caso.

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Cuyo resultado es un número irracional, es decir un número primero que no tiene fin, y segundo que no tiene una secuencia repetitiva, es decir que no sabemos por lógica que numero sigue en su secuencia de resultados.

¿pero entonces se preguntó HIPASO DE METAPONTO como es posible que dos números enteros ( 1 en cada lado del triangulo), dos números considerados perfectos… nos de como resultado un número irreconocible, un número que no se puede medir?

Y mas aún nos preguntamos y ¿como es posible que lo podamos dibujar en una recta numérica sino tiene fin, es decir es inconmensurable? pues bien si se puede…aqui se ve su representación gráfica:

 

Resultado de imagen para raiz de dos

Tomado de: http://emaspi2eso.blogspot.com.co/2010/05/

Construimos sobre el plano cartesiano un triangulo con lados de valor unitario y su diagonal (hipotenusa) proyectada con ayuda de un compás se transforma en el valor raiz de dos solicitado. Lo mismo podemos hacer con otros números irracionales:

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Y de esta manera lo hacemos sucesivamente con diferentes números irracionales:

Tomado de: http://todomaths4eso.blogspot.com.co/p/blog-page.html

e incluso podemos crear una espiral con estos valores:

Tomado de: http://todomaths4eso.blogspot.com.co/p/blog-page.html

INDAGACIÓN 1

Tenemos dos números irracionales que esperamos indagues a cabalidad, desde quien lo descubre…hasta su forma de representación en la recta numérica:

                          Resultado de imagen para número de neper

ÁREA SOMBREADA

Con el dato de la tabla de áreas para figuras geométricas podemos calcular el área de diversas figuras:

EJEMPLO

Calcular el área sombreada de la figura. Como observamos el área gris o sombreada se obtiene al restar el área de un cuadrado de 8 cm de lado y el área de dos mitades de un círculo cuyo radio es de 4 cm:

10

EJERCICIOS 3

11

Tomado de: https://www.slideshare.net/asteteli/areas-sombreadas-57320341

12

Tomado de: https://www.pinterest.es/pin/185351340891950872/

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Cuando sustituimos los valores numéricos de los lados de una figura geométrica por expresiones algebraicas obtenemos una nueva interpretación de la geometría:

EJEMPLO 1 CALCULAR EL PERÍMETRO:

Tomado de: http://mate2tec31.blogspot.com.co/2012/11/cual-es-el-perimetro-de-la-siguiente.html

Elaboramos un polinomio para sumar los lados de la figura:

(2x) + (2x) + (7x-50) + (4x-10) + (x) + (x+10) + (5x-20) + (10x-30)

Resolvemos los paréntesis y agrupamos los términos:

2x +2x +7x +4x +x +x +5x +10x -50 -10 +10 -20 -30

Realizamos las operaciones indicadas y obtenemos el resultado que es un binómio:

 

EJEMPLO 2 CALCULAR EL ÁREA

9

En la figura anterior vemos que al agrupar cada área independiente obtenemos una sola figura geométrica cuya expresión algebraica es un trinomio, caso 7 de factorización.

 

EJEMPLO 3 CALCULAR EL ÁREA SOMBREADA

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Como se puede observar el área sombreada es el resultado de la resta entre el área del rectángulo y los 4 cuadrados de las esquinas. Luego se factoriza caso 1 y se aplica caso 4 para obtener el resultado presentado.

VOLUMEN

Las tres dimensiones, es la expresión que involucra el conocimiento de los objetos con volumen, para los cuales existen ya fórmulas para su cálculo:

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Tomado de: https://mauriciomedinasierra.wordpress.com/primer-corte/conceptos/volumen/tabla-de-areas-y-volumenes-figuras-geometricas/

También se puede consultar: http://blogdecarina.blogspot.com.co/2014/02/volumen-cuerpos-geometricos.html

En la tabla anterior se observa además del nombre y la forma de la figura tridimensional, el desarrollo del sólido correspondiente para su elaboración a partir de una superficie plana. Existe una columna donde aparece el cálculo del área superficial de cada figura y la ecuación del cálculo del volumen.

Gracias a estos valores podemos hacer cálculos con expresiones matemáticas:

EJEMPLO 1

15

Tomado de: http://cremc.ponce.inter.edu/algebrageometrica/taller1.htm

 

EJEMPLO 2

16

Tomado de: https://es.slideshare.net/MATEMATICASEEMM/polinomios-2700548

EJERCICIO 4

Calcular el volumen y simplificar la expresión algebraica.

17

Tomado de: http://ww2.educarchile.cl/PORTAL.HERRAMIENTAS/SIMCE2006/Ejercicios/Diagnostica_Segundo.aspx?sector=2&nivel=2&id_Eje=98

 

REPRESENTACIÓN VOLUMETRICA MEDIANTE PERSPECTIVA

Existen muchas formas de representar mediante el empleo del DIBUJO TÉCNICO una figura de volumen. Hagamos un alto y observemos este desarrollo de la geometría en el ARTE. Consideraremos solo tres formas de representación:

PERSPECTIVA CABALLERA

Esta forma de representación maneja una de las caras del objeto a 45 grados.

Perspectiva 01.svg

 

Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA

Esta se caracteriza por representar un objeto en posición angular de 120 grados entre sus ejes

Perspectiva 08.svg

Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_isom%C3%A9trica

PERSPECTIVA DE PUNTOS DE FUGA

Esta se presenta en tres tipos:

PERSPECTIVA DE UN PUNTO DE FUGA:

Tomado de: http://plasticandoenlaeso.blogspot.com.co/2015/06/perspectiva-conica-con-1-punto-de-fuga.html

PERSPECTIVA DE DOS PUNTOS DE FUGA

Resultado de imagen para perspectiva de dos punto de fuga

Tomado de: http://mumng.blogspot.com.co/2014/08/97-fundamentos-de-diseno-dibujo-de.html

PERSPECTIVA DE TRES PUNTOS DE FUGA

 

Tomado de: http://infocristobalina9.blogspot.com.co/2016/05/ejercicio-3-perspectiva-dos-puntos-de.html

 

SIMPLIFICANDO LAS EXPRESIONES MATEMÁTICAS.

Es cierto que mediante la suma, resta y otras operaciones simples podemos reducir las expresiones matemáticas teniendo en cuenta los principios del álgebra en cuanto a la semejanza de términos.

Sin embargo la FACTORIZACIÓN es uno de los métodos más empleados en este trabajo de simplificación.

Recordemos los casos de FACTORIZACIÓN

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RESOLVIENDO LAS EXPRESIONES MATEMÁTICAS

Una de las actividades más reconocidas de las matemáticas es el hallazgo de soluciones a los problemas que se derivan de las expresiones matemáticas que representan el MUNDO REAL y sus SITUACIONES.

DESPEJANDO INCÓGNITAS

Una de las formas de encontrar el valor de las variables desconocidas (incógnitas) es mediante el procedimiento de DESPEJE, el cual consiste en separar una variable de otras a través de operaciones contrarias a las que existen entre ellas.

CASOS DE OPERACIONES DE SUMA Y RESTA

EJEMPLO :Despejar x de la ecuación:

x + 4 = 2x

la x de los términos de la izquierda se traslada a la derecha y  cambia de signo ( el que suma pasa a restar).

4 = 2x – x

se simplifican los términos de la derecha por ser semejantes.

4 = x

CASOS DE OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

EJEMPLO :Despejar de la ecuación la letra y:

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el número 5 del denominador de los términos a la izquierda pasa a multiplicar al 9 que es el término de la derecha. (el que divide pasa a multiplicar)

3y = 45

el número 3 que acompaña la letra y la multiplica pasa dividir al  número 45 que es el término de la derecha. (el que multiplica pasa a dividir)

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CASOS DE OPERACIONES CON POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

EJEMPLO: Despejar de la ecuación la letra a:

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La letra b que multiplica a la letra a, pasa a dividir al número 27.

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La potencia cúbica pasa como una raíz cúbica al miembro de la derecha

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SOLUCIONANDO PROBLEMAS DE UNA INCÓGNITA MEDIANTE DESPEJE

De las situaciones vistas anteriormente las planteadas los ejercicios 10 y 12 tienen una sola variable que a su vez es la incógnita, mediante despeje podemos hallar su valor:

EJEMPLO 1 : Resolver el Ejercicio 10 presentado anteriormente

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Pasamos los miembros con letra a la izquierda (Cambiando su signo)

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Realizamos las operaciones

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Despejamos la letra x,  el 3 pasa a multiplicar y el 5 a dividir

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EJEMPLO 2: Resolver el Ejercicio 12 presentado anteriormente

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SOLUCIONANDO PROBLEMAS DE DOS INCÓGNITAS

Cuando tenemos mas de una incógnita por resolver ( ejercicio 1 por ejemplo) la situación es diferente por cuanto debemos tener como mínimo un número de ecuaciones igual al número de incógnitas, lo cual nos garantiza tener UNA SOLUCIÓN ÚNICA para cada incógnita. En caso que el número de ecuaciones sea menor que el número de incógnitas podemos tener VARIADAS SOLUCIONES para la misma incógnita.

Un problema de este caso sería:

El perímetro de un cuarto rectangular es de 18 m, y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones del cuarto y su área.

Debemos recordar primero que es un perímetro y un área para el caso del rectángulo:

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Tomado de: http://slideplayer.es/slide/1023628/

Las variables serían:

b= largo

a= ancho

Las expresiones algebraicas que representan mediante ecuaciones el problema serían:

(1) 2a + 2b = 18

(2) 4b = 5a

Bien, existen 5 formas de solucionar este tipo de problemas:

IGUALACIÓN

igualación

SUSTITUCIÓN

sustitución

REDUCCIÓN

reducción

DETERMINANTES 

determinantes

GRÁFICO

grafico 1

grafico

En el lugar donde se cruzan las dos líneas ( cada línea representa una expresión algebraica) es la solución al problema.

SOLUCIONANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE SEGUNDO Y TERCER GRADO

Cuando las expresiones algebraicas no son de primer grado se aplican otras soluciones.

 

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