MATEMÁTICAS EN FÍSICA

GRADO OCTAVO

Bienvenidos estudiantes, con el fin de fundamentar elementos de matemáticas necesarios para el desarrollo de la FÍSICA 1 y 2, estas BASES apoyadas en los derechos básicos de aprendizaje para GRADO OCTAVO nos pueden ser muy útiles.

Inicialmente revisemos los derechos básicos de aprendizaje en MATEMÁTICAS  para GRADO OCTAVO :

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE GRADO OCTAVO:

Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

Evidencias de aprendizaje

  • Utiliza procedimientos geométricos para representar números racionales e irracionales.
  • Identifica las diferentes representaciones (decimales y no decimales) para argumentar por qué un número es o no racional

Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

Evidencias de aprendizaje

  • Utiliza procedimientos geométricos o aritméticos para construir algunos números irracionales y los ubica en la recta numérica.
  • Justificar procedimientos con los cuales se representa geométricamente números racionales y números reales.
  • Construye varias representaciones (geométrica, decimales o no decimales) de un mismo número racional o irracional.

Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones.

Evidencias de aprendizaje

  • Reconoce el uso del signo igual como relación de equivalencia de expresiones algebraicas en los números reales.
  • Propone y ejecuta procedimientos para resolver una ecuación lineal y sistemas de ecuaciones lineales y argumenta la validez o no de un procedimiento
  • Usa el conjunto solución de una relación (de equivalencia y de orden) para argumentar la validez o no de un procedimiento.

Describe atributos medibles de diferentes sólidos y explica relaciones entre ellos por medio del lenguaje algebraico.

Evidencias de aprendizaje

  • Utiliza lenguaje algebraico para representar el volumen de un prisma en términos de sus aristas.
  • Realiza la representación gráfica del desarrollo plano de un prisma.
  • Estima, calcula y compara volúmenes a partir de las relaciones entre las aristas de un prisma o de otros sólidos.
  • Interpreta las expresiones algebraicas que representan el volumen y el área cuando sus dimensiones varían.

Utiliza y explica diferentes estrategias para encontrar el volumen de objetos regulares e irregulares en la solución de problemas en las matemáticas y en otras ciencias.

Evidencias de aprendizaje

  • Estima medidas de volumen con unidades estandarizadas y no estandarizadas.
    Utiliza la relación de las unidades de capacidad con las unidades de volumen (litros, dm3, etc) en la solución de un problema.
  • Identifica la posibilidad del error en la medición del volumen haciendo aproximaciones pertinentes al respecto.
  • Explora y crea estrategias para calcular el volumen de cuerpos regulares e irregulares.

Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran el diseño de un objeto.

Evidencias de aprendizaje

  • Utiliza criterios para argumentar la congruencia de dos triángulos.
  • Discrimina casos de semejanza de triángulos en situaciones diversas.
  • Resuelve problemas que implican aplicación de los criterios de semejanza.
  • Compara figuras y argumenta la posibilidad de ser congruente o semejantes entre sí.

Identifica regularidades y argumenta propiedades de figuras geométricas a partir de teoremas y las aplica en situaciones reales.

Evidencias de aprendizaje

  • Describe teoremas y argumenta su validez a través de diferentes recursos (Software, tangram, papel, entre otros).
  • Argumenta la relación pitagórica por medio de construcción al utilizar material concreto.
  • Reconoce relaciones geométricas al utilizar el teorema de Pitágoras y Thales, entre otros.
  • Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la medida de cualquier lado de un triángulo rectángulo.
  • Resuelve problemas utilizando teoremas básicos.

Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

Evidencias de aprendizaje

  • Opera con formas simbólicas y las interpreta.
  • Relaciona un cambio en la variable independiente con el cambio correspondiente en la variable dependiente.
  • Encuentra valores desconocidos en ecuaciones algebraicas.
  • Reconoce y representa relaciones numéricas mediante expresiones algebraicas y encuentra el conjunto de variación de una variable en función del contexto.

Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Evidencias de aprendizaje

  • Opera con formas simbólicas que representan números y encuentra valores desconocidos en ecuaciones numéricas.
  • Reconoce patrones numéricos y los describe verbalmente.
  • Representa relaciones numéricas mediante expresiones algebraicas y opera con y sobre variables.
  • Describe diferentes usos del signo igual (equivalencia, igualdad condicionada) en las expresiones algebraicas.
  • Utiliza las propiedades de los conjuntos numéricos para resolver ecuaciones.

Propone relaciones o modelos funcionales entre variables e identifica y analiza propiedades de covariación entre variables, en contextos numéricos, geométricos y cotidianos y las representa mediante gráficas (cartesianas de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.).

Evidencias de aprendizaje

  • Toma decisiones informadas en exploraciones numéricas, algebraicas o gráficas de los modelos matemáticos usados.
  • Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.

Interpreta información presentada en tablas de frecuencia y gráficos cuyos datos están agrupados en intervalos y decide cuál es la medida de tendencia central que mejor representa el comportamiento de dicho conjunto.

Evidencias de aprendizaje

  • Interpreta los datos representados en diferentes tablas y gráficos.
  • Usa estrategias gráficas o numéricas para encontrar las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.
  • Describe el comportamiento de los datos empleando las medidas de tendencia central y el rango.
  • Reconoce cómo varían las medidas de tendencia central y el rango cuando varían los datos.

Hace predicciones sobre la posibilidad de ocurrencia de un evento compuesto
e interpreta la predicción a partir del uso de propiedades básicas de la probabilidad.

Evidencias de aprendizaje

  • Identifica y enumera el espacio muestral de un experimento aleatorio.
  • Identifica y enumera los resultados favorables de ocurrencia de un evento indicado.
  • Asigna la probabilidad de la ocurrencia de un evento usando valores entre 0 y 1.
  • Reconoce cuando dos eventos son o no mutuamente excluyentes y les asigna la
    probabilidad usando la regla de la adición.

Cartilla de enseñanza del ministerio de educación

En el siguiente enlace podrás encontrar y descargar la cartilla básica para nivel octavo de aprendizaje elaborada por el ministerio de Educación:

http://redes.colombiaaprende.edu.co/ntg/men/archivos/Referentes_Calidad/Modelos_Flexibles/Secundaria_Activa/Guias_del_estudiante/Matematicas/MT_Grado08.pdf

NUESTRO TEXTO GUÍA ADICIONAL:

algebrabaldor (1)

NUESTRO TEXTO DE LECTURA:

el-hombre-que-calculaba (1)

PLAN DE TRABAJO

Temáticas (semanas) Contenidos
LAS ECUACIONES COMO FORMA DE MODELAR LA NATURALEZA

(Trabajando la CANTIDAD, EL ESPACIO Y LA FORMA)

ECUACIONES Y ORÍGENES

·        Los inicios del álgebra. El espacio             numérico (Racionales e                               Irracionales)

·        La escritura y el álgebra

.        Los problemas y las ecuaciones en           contexto

OPERACIONES CON ECUACIONES

·         Sustitución y Valor real

·         Reducción

·         Suma y Resta

·         Multiplicación y División

·         Despeje de incógnitas

.         Solución de ecuaciones de primer            grado

PROBLEMAS CON ECUACIONES

·         Situaciones que implican sumas y            restas.

·         Situaciones que implican                            multiplicación y división.

·         Situaciones que implican                            potenciación  y radicación.

 

SIMPLIFICANDO LAS ECUACIONES

(Trabajando EL CAMBIO Y LAS RELACIONES)

FACTORIZACIÓN
LA GEOMETRIA DEL ALGEBRA

(Trabajando EL CAMBIO Y LAS RELACIONES)

La naturaleza: entorno geométrico de las matemáticas
Principios de geometría plana, sistemas de medición. Area y Volumen. Congruencia y Semejanza.
Teoremas de Thales y de Pitágoras
Gráficas en el plano cartesiano.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

(Trabajando la INCERTIDUMBRE)

Tablas de Frecuencia. Media, moda y mediana.

Probabilidad básica.

 

EL ORIGEN DEL ÁLGEBRA

Hablar del álgebra es hablar del origen del pensamiento humano y su capacidad para interrogarse acerca de su entorno.

Prácticamente desde sus primeros descubrimientos y su necesidad de manipular la naturaleza nace el deseo de mantener un control numérico de su realidad.

alge 1

Este deseo de contabilizar la naturaleza aparece en la medida que el hombre deja de desplazarse en la tierra y se hace sedentario fundando las primeras culturas del periodo neolítico.

alge 2

Uno de los primeros interrogantes del hombre será el tiempo y sus periodos. Observar las crecientes de los ríos, el paso de las estaciones, las épocas de siembra y cosecha, las épocas de migración de los animales, etc…llevan al hombre a crear un sistema de manejo para el tiempo que más adelante se conocerá como calendario.

alge 3

El hombre observa una regularidad en las épocas y el movimiento de las estrellas, que más adelante va a relacionar con su sistema de medición basado en medidas y contabilización antropomorfa.

alge 4

El ciclo representado en el círculo adquiere gran importancia en las culturas antiguas. La numeración basada en doceavos generaría a su vez un primer sistema de numeración, que ahora conocemos como el SISTEMA SEXAGESIMAL.

alge 5

LA ESCRITURA Y EL ÁLGEBRA

El paralelo entre la escritura y la numeración propicia el desarrollo de las matemáticas.

alge 6

Esta primer expresión de escritura se encuentra en el poema de Gilgamesh, que hace parte de la cultura MESOPOTÁMICA de BABILONIA.

“Aquel que vio todo hasta los confines de la tierra, Que todas las cosas experimentó, consideró todo. […] juntamente […], […] de sabiduría, que todas las cosas.[..]. (5) Lo oculto vio, desveló lo velado. Informó antes del Diluvio, Llevó a cabo un largo viaje, cansado y derrengado. Todo su afán grabó en  una estela de piedra. De la terraplenada Uruk el muro construyó, Del reverenciado Eannal, el santuario puro. “

Epopeya de Gilgamesh , tablilla I .  (612 a.c.)

En escritura CUNEIFORME así se expresaban los primeros números:

alge 7

Como se observa en la figura el 60 es el número clave de este sistema de numeración que llamaremos SEXAGESIMAL, este sistema se emplea en la medición del espacio circular en grados:

alge 8

Mediante este sistema se realizan variedad de operaciones matemáticas y transformaciones de mediciones.

LOS PROBLEMAS Y EL ÁLGEBRA

Son muchas las situaciones en las cuales la matemáticas sería la solución a problemas cotidianos que se presentaban en estas primeras civilizaciones.

El primer problema escrito del que tenemos referencia se encuentra en un PAPIRO EGIPCIO:

alge 9

alge 10

ESte primer planteamiento nos muestra que las ecuaciones ya se empezaban a emplear par modelar las situaciones o problemas de la cotidianidad.

MATEMÁTICAS EN OTRAS CULTURAS

A pesar que es en BABILONIA y EGIPTO donde se encuentran los orígenes escritos de las matemáticas, otras culturas también exploraron el álgebra:

EN LA CULTURA CHINA

alge 11

EN LA CULTURA HINDÚ:

alge 12

EN LA CULTURA GRIEGA:

alge 13

alge 14

Y EN LA CULTURA ÁRABE LA PRIMERA APARICIÓN DE UN LIBRO DE ALGEBRA:

alge 15

TEXTO Y CONTEXTO EN MATEMÁTICAS

Las matemáticas y todas las ramas que conocerás en tu paso por el bachillerato (aritmética, álgebra, trigonometría, cálculo, análisis de funciones, geometría, estadística y probabilidades) parten de la realidad. Por muy abstractas que te parezcan tienen su origen en las situaciones cotidianas que la humanidad a vivido…que tu vives a diario.

Si no existe una situación problema o necesidad real de donde partir…no existiría la posibilidad de hacer un desarrollo matemático. Por eso cada cosa que sucede ( el vuelo de un ave, el viento, tu caminar y tu respiración, etc) puede volverse matemáticas.

Para iniciarnos en este mundo de percepción matemáticas partiremos con el TEXTO ESCRITO como elemento para reconocer un proceso científico y aprender a mirar con los lentes de las matemáticas.

EJERCICIO DE LECTURA

Veamos este texto sacado del Antiguo Testamento, Génesis 5:27:

Era Matusalén de 187 años cuando engendró a Lamec; vivió 782 años, y engendró hijos e hijas. Fueron todos los días de Matusalén 969, y murió. Era Lamec de 182 años cuando engendró un hijo, al que puso el nombre de Noé (…). Vivió Lamec, después de engendrar a Noé, 595 años, y engendró hijos e hijas. Fueron todos los días de Lamec 777 años, y murió (…). A los 600 años de la vida de Noé, el segundo mes, el día 17 de él, se rompieron todas las fuentes del abismo, se abrieron las cataratas del cielo, y estuvo lloviendo sobre la tierra durante 40 días y 40 noches.

TU SUBRAYAS Y SACAS LAS IDEAS Y CONCEPTOS PRINCIPALES.

EL CONTEXTO SOCIAL

Aquí te doy algunas ideas:

EL ANTIGUO TESTAMENTO

Sabes algo de los rollos del mar muerto?¿Qué elemento matemático podrías obtener de esta imagen?

rollos.png

Tomado de: https://www.tes.com/lessons/S8QL2a2N28v5fg/copy-of-primary-sources-their-place-in-the-classroom

MATUSALEN, LAMEC Y NOE

Son solo algunos de los personajes que integran una GENEALOGÍA.

noe

Tomado de: http://davidnesher.com.ar/una-genealogia-con-codigos-de-esperanza-mesianica/

Igualmente de la anterior imagen: ¿Qué información matemática nos trae la imagen?

EL DILUVIO UNIVERSAL: SE ABRIERON LAS CATARATAS DEL CIELO, SE ROMPIERON TODAS LAS FUENTES DE ABISMO..

La siguiente gráfica nos indica como posiblemente se fue inundando la tierra para esa fecha del diluvio:

diluvio

Tomado de: https://www.vix.com/es/btg/curiosidades/9159/2-teorias-cientificas-que-explican-el-mito-del-diluvio-universal

¿Que información matemática podemos extraer de la anterior gráfica?

EL CONTEXTO MATEMÁTICO

Este problema a diferencia del anterior contiene un CONTEXTO MATEMÁTICO cuyo objetivo según lo leíste ( habla de tres personajes y de edades) es:

  • Fijar una cronología en la vida de Matusalén:
  1. MATUSALEN (M) murió a los 969 años
  2. cuando MATUSALEN (M)  tenía 187 años engendró a  su hijo LAMEC ( L)
  3. al cumplir  LAMEC ( L) 182 años engendró a  su hijo NOE (N)
  4. por último, se produjo el Diluvio cuando NOE (N) tenía 600 años.

Si te diste cuenta entre paréntesis coloque la letra inicial de cada nombre, para simplificarlo,,, en otras palabras los convertí en VARIABLES.

La siguiente imagen actúa como soporte reducido de la información antes esquematizada y permite plantear un problema y, a la vez, intuir de qué tipo es y conjeturar su solución:

linea tiempo

 

  • Conocimiento esquemático:
  1. En este caso, es un simple problema aritmético  y se resuelve con una suma:
  2. Cada letra representa un espacio de tiempo en años:

M + L + N = Tiempo entre el nacimiento de MATUSALEN y el DILUVIO

Desde que que nació MATUSALEN hasta el día del diluvio Universal pasaron entonces:

187 años + 182 años + 600 años = 969  años

Podemos afirmar que MATUSALÉN  murió el mismo año que ocurre el diluvio universal.

Como pudiste observar en el desarrollo del texto hicimos un recorrido por toda la información que el texto nos puede dar y además tratamos de ver que elementos de matemáticas podíamos encontrar. Esa es una buena estrategia de trabajo en todas tus lecturas.

NOTA: TEN PRESENTE EL SÍMBOLO DE IGUALDAD ¿TIENE EL SIGNIFICADO DE EQUIVALENCIA?

LAS ECUACIONES Y EL ÁLGEBRA

No existe nada en matemáticas que no parta de una necesidad, una situación o un problema. 

Cuál es la distancia entre Mosquera y la Mesa?

alge 16

Al tener un problema matemático lo primero que tenemos que hacer es buscar datos, que en el caso anterior aparecen en una gráfica (mapa). En la gráfica nos indican la distancia total entre BOGOTÁ-GIRARDOT que es de 144 Km, y también nos indican las distancias entre algunas ciudades intermedias de tal manera que para llegar de BOGOTÁ A GIRARDOT la secuencia a seguir sería:

BOGOTÁ-MOSQUERA + MOSQUERA-LA MESA + LA MESA-TOCAIMA + TOCAIMA-GIRARDOT = 144 KM.

Si reemplazamos por valores numéricos en Kilómetros cada distancia de acuerdo a los datos que tenemos nos quedaría la siguiente ECUACIÓN:

25+X+40+30=144

Donde la X representa la incógnita o valor a encontrar en nuestro problema. La solución es sencilla,  X= 49 Km. Esta sería la distancia entre MOSQUERA- LA MESA.

CARACTERÍSTICAS DE UNA ECUACIÓN

De la ecuación anterior podemos deducir:

alge 17

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

El siguiente mapa resume los elementos característicos de una ecuación que nos permite clasificarlas, en el algebra de Baldor ( pag. 5 – 19) podrás profundizar en cada elemento:

alge 18

Lo anterior implica que el mundo de la numeración es bastante amplio y debemos recordar y reconocer:

 

EL MUNDO NUMÉRICO

La siguiente gráfica nos trae el recuerdo de la clasificación de los números. ¿Podemos hacer analogía con la clasificación de las ecuaciones algebraicas?

alge 19

OPERACIONES CON ECUACIONES

Todas las ecuaciones  parten de textos y contextos reales. Una vez llevadas al lenguaje matemático nos facilita la operatividad con ellas, veamos las principales operaciones matemáticas que podemos realizar con ellas:

SUSTITUCIÓN Y VALOR REAL

Es el proceso mediante el cual sustituyo una variable por un valor numérico y realizo las operaciones correspondientes para hallar el valor real de la ecuación.

ejemplo:

ENUNCIADO

Compré tres cajas de lápices y dos de marcadores. Si cada caja de lápices  tiene un costo de $50 y cada caja de marcadores $80. ¿Cuál es el costo total de la compra?

VARIABLES:

L= lápices        M= marcadores

DATOS:

L= $50     M=$80

ECUACIONES:

3L + 2M = Costo Total

PROCEDIMIENTO:

3($50) + 2($80)  =   $150 + $160 = $310

RESPUESTA:

El costo total de la compra es de $310

REDUCCIÓN

Es la operación que permite realizar simplificar términos algebraicos en los polinomios que se suman o restan. La reducción sólo funciona cuando los términos son semejantes, es decir que tienen las mismas variables en el mismo grado.

Para realizar una reducción adecuadamente debemos tener en cuenta las leyes de los signos:

alge 20

En la reducción se agrupan los términos llamados semejantes ( tienen las mismas variables y con el mismo grado) y se suma o restan los valores numéricos de cada término.

CASO 1: TÉRMINOS SEMEJANTES DE IGUAL SIGNO

Ejemplo:

-8x – 4x – 2x – x – 3x

En este caso y siguiendo la ley de los signos para suma y resta simplemente “signos iguales se suman” y la respuesta “hereda” el mismo signo:

-8x – 4x – 2x – x – 3x = -18x

CASO 2: TÉRMINOS SEMEJANTES DE DIFERENTES SIGNOS

Ejemplo:

-8x + 4x + 2x – x + 3x

En este caso organizamos los términos, primero colocamos los de signo positivo y luego los de signo negativo:

+ 4x + 2x + 3x  – 8x  – x

Realizamos una reducción entre los términos de signo positivo: + 4x + 2x + 3x = +9x

Realizamos una reducción entre los términos de signo negativo:  – 8x  – x = -9x

Unimos ambos resultados y obtenemos la respuesta(según leyes de los signos):

+9x – 9x = 0

CASO 3: TÉRMINOS SEMEJANTES POR AGRUPACIÓN

ejemplo:

REDUCIR EL SIGUIENTE POLINOMIO

1 + x + xy – 2 + 2x -3xy -3 + 2xy – 3x

PRIMERO ORGANIZAMOS LOS TÉRMINOS POR SEMEJANZA: iniciamos por  los términos con “x” y luego los términos con “xy” y finalizamos con los números ( se recomienda colocar primero todos los que tengan signo positivo y al final los que tengan signo negativo, debidamente agrupados):

(x + 2x – 3x)  +  (xy  + 2xy – 3xy) +  (1 – 2 – 3)

SEGUNDO REALIZAMOS LAS OPERACIONES DE SUMA O RESTA SEGÚN LOS TÉRMINOS:

(0) + (0)  +  (-4) = -4

RESPUESTA:

1 + x + xy – 2 + 2x -3xy -3 + 2xy – 3x = -4

REDUCCIÓN Y PARÉNTESIS

En algunos casos antes de realizar la reducción debemos resolver paréntesis, aplicando las leyes de los signos y teniendo en cuenta el orden de los paréntesis:

{[()]}

Ejemplo:

REDUCIR EL SIGUIENTE POLINOMIO:

4 – (2a +3) + (4a +5) – (7 – 3a)

PRIMERO RESOLVEMOS LOS PARÉNTESIS:

4 – 2a – 3 + 4a + 5 – 7 +3a

SEGUNDO ORGANIZAMOS POR TÉRMINOS SEMEJANTES: (primero positivos, luego negativos)

(4a + 3a -2a)  +  (4 + 5 – 3  – 7)

TERCERO REALIZAMOS LAS OPERACIONES

5a – 1

RESPUESTA:

4 – (2a +3) + (4a +5) – (7 – 3a) = 5a – 1

EJERCICIOS SUGERIDOS: 

Algebra de Baldor: EJERCICIO 7, EJERCICIO 9, EJERCICIO 10, EJERCICIO 12.

LAS OPERACIONES BÁSICAS

SUMA 

La suma de las expresiones algebraicas (miembros de una ecuación) depende de las cualidades de los términos:

CASO 1:  SUMA DE MONOMIOS CON TÉRMINOS NO SEMEJANTES

Ejemplo:

Sumar :  m, – p, 2n

En este caso  escribimos un término al lado del otro realizando la operación de suma indicada:

(m) + (- p) + (2n)

Observamos que no hay operaciones entre los paréntesis y aplicando las leyes de los signos para multiplicación resolvemos los paréntesis:

m – p + 2n

El resultado es un trinomio de primer grado sin términos semejantes.

CASO 2: SUMA DE MONOMIOS CON TÉRMINOS SEMEJANTES

Ejemplo:

Sumar: a, -3b, -8c, 4b, 2a

En este caso como en el anterior inicialmente unimos los términos  para construir un polinomio:

a -3b -8c + 4b + 2a

Aplicamos el CASO 3 de reducción realizando la operación indicada de la suma y agrupando los términos ( primero los positivos y luego los negativos dentro del paréntesis):

(a + 2a) +  (4b -3b) + (-8c)

Realizamos primero las operaciones dentro del paréntesis:

(3a) + (b) + (-8c)

Aplicando las leyes de los signos para multiplicación resolvemos los paréntesis :

3a + b -8c

Esta sería la respuesta.

CASO 3 SUMA DE POLINOMIOS

Ejemplo:

Sumar: – am + 6mn – 4s ;  6s – am – 5mn

Inicialmente unimos todos los términos en un polinomio mediante la operación de suma indicada:

(- am + 6mn – 4s) + (6s – am – 5mn)

Aplicando las leyes de los signos para multiplicación resolvemos los paréntesis y reagrupamos los términos por semejanzas ( primero los positivos y luego los negativos):

(- am – am) + (6 mn – 5mn) + (6s  -4s )

Realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:

(-2am) +  (mn) + (2s)

Aplicando las leyes de la multiplicación de signos resolvemos los paréntesis:

-2am +mn +2s

Obtenemos como respuesta un trinomio de primer grado.

En el Algebra de Baldor encontrarás otra forma de hacerlo agrupando por columnas los polinomios.

EJERCICIOS SUGERIDOS: 

Algebra de Baldor: EJERCICIO 16, EJERCICIO 17, EJERCICIO 18.

RESTA

El proceso es similar al anterior solo tenemos en cuenta la ley de los signos en multiplicación para resolver los paréntesis.

CASO 1:  RESTA DE MONOMIOS CON TÉRMINOS NO SEMEJANTES

Ejemplo:

Restar :  – m de – p

En este caso  escribimos un término al lado del otro realizando la operación de resta indicada:

(- p) – (-m)

Observamos que no hay operaciones entre los paréntesis y aplicando las leyes de los signos para multiplicación resolvemos los paréntesis:

-p + m

El resultado es un binomio de primer grado sin términos semejantes.

CASO 2: RESTA DE MONOMIOS CON TÉRMINOS SEMEJANTES

Ejemplo:

Restar:  -3b  de – 4b

En este caso escribimos un término al lado del otro realizando la operación de resta indicada:

(-4b) – (-3b)

Resolvemos los paréntesis y realizamos la reducción:

-4b + 3b = -b

Esta sería la respuesta.

CASO 3 RESTA DE POLINOMIOS

Ejemplo:

Restar: – am + 6mn – 4s   de   6s – am – 5mn

Inicialmente unimos todos los términos en un polinomio mediante la operación de resta indicada:

(6s – am – 5mn) – (- am + 6mn – 4s)

Aplicando las leyes de los signos para multiplicación resolvemos los paréntesis:

6s – am – 5mn + am – 6mn +4s

y reagrupamos los términos por semejanzas ( primero los positivos y luego los negativos):

(- am + am) + (- 6 mn – 5mn) + (6s  + 4s )

Realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:

(0) +  (-11mn) + (10s)

Aplicando las leyes de la multiplicación de signos resolvemos los paréntesis:

-11mn +10s

Obtenemos como respuesta un binomio de primer grado.

En el Algebra de Baldor encontrarás otra forma de hacerlo agrupando por columnas los polinomios.

EJERCICIOS SUGERIDOS: 

Algebra de Baldor: EJERCICIO 22, EJERCICIO 24.

MULTIPLICACIÓN

El proceso de multiplicación se rige por las leyes de los signos y por las leyes de la potenciación en caso de las variables.

Recordemos las leyes de la potenciación:

alge 21

CASO 1: MULTIPLICACIÓN ENTRE MONOMIOS

Ejemplo:

Hallar el producto de: – 4xn   por  5n

Indicamos la operación:

(- 4xn)(5n)

Se multiplican inicialmente los signos (-) del término 4nx  y  (+) del término 5n según las leyes de los signos. Luego se multiplican los números (4) y (5) correspondiente a cada término. Por último las letras que sean semejantes según las leyes de la potenciación, en nuestro caso la n por la n al tener exponente=1 se suman los exponentes y nos da una letra n elevada al cuadrado:

alge 22

Como observamos la letra x al no tener con quien operar queda igual.

CASO 2: MULTIPLICACIÓN ENTRE MONOMIO Y POLINOMIO

Ejemplo:

Hallar el producto entre:

alge 23

En este caso el primer monomio se encarga de multiplicar a cada término del binomio, uno a uno, primero los signos, luego los números y finaliza con las letras semejantes, aplicando las leyes de los signos y de la potenciación:

alge 24

Al finalizar obtenemos como resultado:

alge 25

CASO 3: MULTIPLICACIÓN ENTRE POLINOMIOS

Como en el caso anterior cada término de un polinomio multiplica a cada término del otro polinomio, uno a uno empleando la misma regla: signo por signo (con la ley de los signos), número por número y letra semejante por letra semejante (con la ley de la potenciación):

Ejemplo:

alge 26

En este caso se multiplica el primer término del primer polinomio por el primer término del segundo y luego por el segundo término del segundo polinomio. La operación uno a uno se repite para cada término:

alge 27

Al final tenemos un polinomio de 4 términos para este caso:

alge 28

EJERCICIOS SUGERIDOS: 

Algebra de Baldor: EJERCICIO 40, EJERCICIO 42 y EJERCICIO 44.

DIVISIÓN

La división como su nombre lo indica nos invita a separar en partes una expresión algebraica. Igual a la multiplicación se trabaja término a término (uno por uno), inicialmente los signos bajo la ley de los signos, luego los números que se pueden simplificar y por último las letras semejantes de acuerdo a las leyes de la potenciación.

CASO 1: DIVISIÓN DE MONOMIOS

Como se dijo anteriormente se opera elemento por elemento del  término:

Dividir:

alge 29

En este caso según la ley de los signos (-) / (+) nos da como resultado una fracción negativa. Los números no se pueden seguir simplificando pues se transformarán en decimales. La letra (b) del numerador no tiene en el denominador una letra semejante par operar, al igual que la letra (c) por lo tanto quedan igual.  Solo la letra (a) puede operarse por las leyes de la potenciación, es decir se restan sus exponentes:

alge 30

En el numerador (a) elevada a la cero (0) es uno (1), y en el denominador al quitarle (2) al exponente  (3) de la letra (a) queda elevada a la uno (1):

alge 31

CASO 2: DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

En este caso solo se separa cada polinomio en el mismo monomio y se realiza el procedimiento anterior:

Dividir:

alge 32

Separamos cada elemento:

alge 35

Aplicando las leyes de la potenciación eliminamos exponentes:

alge 33

Dividimos los números correspondientes: En el primer término (3)/(3) = 1, en el segundo término (6)/(3) = 2 y en el tercer término (9)/(3)= 3.  Nos queda al final:

alge 34

CASO 3: DIVISIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO

Esta división tiene siempre en cuenta aquel valor o expresión algebraica que pueda anular un término del polinomio llamado DIVIDENDO, al multiplicarse por el término llamado DIVISOR. Inicialmente debemos observar que las expresiones están organizadas según los exponentes en orden descendente con relación a una letra.

DIVIDIR:

alge 36

Lo expresamos de la siguiente manera:

alge 37

Buscamos el término que multiplicado por (x) del divisor me dé como resultado 3x al cuadrado: (3x)

alge 38

Multiplicamos este valor por cada término del divisor y se lo restamos (cambiamos signos) al dividendo:

alge 39

Cada resultado obtenido de la multiplicación se coloca en la respectiva columna, se  realiza la operación y se baja el siguiente término:

alge 40

Volvemos a buscar el número que multiplicado por (x) del divisor nos dé como resultado (-9x) del Dividendo, en este caso sería -9. Realizamos las operaciones indicadas:

alge 41

Entonces el resultado de nuestra división es:

alge 42

Nuestra división no es exacta.

EJERCICIOS SUGERIDOS: 

Algebra de Baldor: EJERCICIO 53, EJERCICIO 54 

NOTA: INDAGA OTROS MÉTODOS DE REALIZAR LA DIVISIÓN.

 

GRADO NOVENO

Bienvenidos estudiantes, con el fin de fundamentar elementos de matemáticas necesarios para el desarrollo de la FÍSICA 1 y 2, estas BASES apoyadas en los derechos básicos de aprendizaje para GRADO NOVENO nos pueden ser muy útiles.

Inicialmente revisemos los derechos básicos de aprendizaje en MATEMÁTICAS  para GRADO NOVENO:

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE GRADO NOVENO:

Utiliza los números reales (sus operaciones, relaciones y propiedades) para resolver problemas con expresiones polinómicas.

Evidencias de aprendizaje

  • Considera el error que genera la aproximación de un número real a partir de números racionales.
  • Identifica la diferencia entre exactitud y aproximación en las diferentes representaciones de los números reales.
  • Construye representaciones geométricas y numéricas de los números reales (con decimales, raíces, razones, y otros símbolos) y realiza conversiones entre ellas.

Propone y desarrolla expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales y utiliza las propiedades de la igualdad y de orden para determinar el conjunto solución de relaciones entre tales expresiones.

Evidencias de aprendizaje

  • Identifica y utiliza múltiples representaciones de números reales para realizar transformaciones y comparaciones entre expresiones algebraicas.
  • Establece conjeturas al resolver una situación problema, apoyado en propiedades y relaciones entre números reales.
  • Determina y describe relaciones al comparar características de gráficas y expresiones algebraicas o funciones.

Utiliza los números reales, sus operaciones, relaciones y representaciones para analizar procesos infinitos y resolver problemas.

Evidencias de aprendizaje

  • Encuentra las relaciones y propiedades que determinan la formación de secuencias numéricas.
  • Determina y utiliza la expresión general de una sucesión para calcular cualquier valor de la misma y para compararla con otras sucesiones.

Identifica y utiliza relaciones entre el volumen y la capacidad de algunos cuerpos redondos (cilindro, cono y esfera) con referencia a las situaciones escolares y extraescolares.

Evidencias de aprendizaje

  • Estima la capacidad de objetos con superficies redondas.
  • Construye cuerpos redondos usando diferentes estrategias.
  • Compara y representa las relaciones que encuentra de manera experimental entre el volumen y la capacidad de objetos con superficies redondas.
  • Explica la pertinencia o no de la solución de un problema de cálculo de área o de volumen, de acuerdo con las condiciones de la situación.

Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Tales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.

Evidencias de aprendizaje

  • Describe y justifica procesos de medición de longitudes.
  • Explica propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.
  • Justifica procedimientos de medición a partir del Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras y relaciones intra e interfigurales.
  • Valida la precisión de instrumentos para medir longitudes.
  • Propone alternativas para estimar y medir con precisión diferentes magnitudes.

Conjetura acerca de las regularidades de las formas bidimensionales y tridimensionales y realiza inferencias a partir de los criterios de semejanza, congruencia y teoremas básicos.

Evidencias de aprendizaje

  • Reconoce regularidades en formas bidimensionales y tridimensionales.
  • Explica criterios de semejanza y congruencia a partir del teorema de Tales.
  • Compara figuras geométricas y conjetura sobre posibles regularidades.
  • Redacta y argumenta procesos llevados a cabo para resolver situaciones de semejanza y congruencia de figuras.

Interpreta el espacio de manera analítica a partir de relaciones geométricas que se establecen en las trayectorias y desplazamientos de los cuerpos en diferentes situaciones.

Evidencias de aprendizaje

  • Describe verbalmente procesos de trayectorias y de desplazamiento.
  • Explica y representa gráficamente la variación del movimiento de diferentes objetos.

Utiliza expresiones numéricas, algebraicas o gráficas para hacer descripciones de situaciones concretas y tomar decisiones con base en su interpretación.

Evidencias de aprendizaje

  • Opera con formas simbólicas que representan cantidades.
  • Reconoce que las letras pueden representar números y cantidades, y que se pueden operar con ellas y sobre ellas.
  • Interpreta expresiones numéricas, algebraicas o gráficas y toma decisiones con base en su interpretación.

Utiliza procesos inductivos y lenguaje simbólico o algebraico para formular, proponer y resolver conjeturas en la solución de problemas numéricos, geométricos, métricos, en situaciones cotidianas y no cotidianas.

Evidencias de aprendizaje

  • Efectúa exploraciones, organiza los resultados de las mismas y propone patrones de comportamiento.
  • Propone conjeturas sobre configuraciones geométricas o numéricas y las expresa verbal o simbólicamente.
  • Valida las conjeturas y explica sus conclusiones.
  • Interpreta expresiones numéricas y toma decisiones con base en su interpretación.

Propone un diseño estadístico adecuado para resolver una pregunta que indaga por la comparación sobre las distribuciones de dos grupos de datos, para lo cual usa comprensivamente diagramas de caja, medidas de tendencia central, de variación y de localización.

Evidencias de aprendizaje

  • Define el método para recolectar los datos (encuestas, observación o experimento simple) e identifica la población y el tamaño de la muestra del estudio. m Construye diagramas de caja y a partir de los resultados representados en ellos describe y compara la distribución de un conjunto de datos.
  • Compara las distribuciones de los conjuntos de datos a partir de las medidas de tendencia central, las de variación y las de localización.
  • Elabora conclusiones para responder el problema planteado

Encuentra el número de posibles resultados de experimentos aleatorios, con reemplazo y sin reemplazo, usando técnicas de conteo adecuadas, y argumenta la selección realizada en el contexto de la situación abordada. Encuentra la probabilidad de eventos aleatorios compuestos.

Evidencias de aprendizaje

  • Diferencia experimentos aleatorios realizados con reemplazo, de experimentos aleatorios realizados sin reemplazo.
  • Encuentra el número de posibles resultados de un experimento aleatorio, usando métodos adecuados (diagramas de árbol, combinaciones, permutaciones, regla de la multiplicación, etc.).
  • Justifica la elección de un método particular de acuerdo al tipo de situación.
  • Encuentra la probabilidad de eventos dados usando razón entre frecuencias.

Cartilla de enseñanza del ministerio de educación

En el siguiente enlace podrás encontrar y descargar la cartilla básica para nivel noveno de aprendizaje elaborada por el ministerio de Educación:

http://redes.colombiaaprende.edu.co/ntg/men/archivos/Referentes_Calidad/Modelos_Flexibles/Secundaria_Activa/Guias_del_estudiante/Matematicas/MT_Grado09.pdf

Igualmente si deseas trabajar con los derechos básicos de aprendizaje puedes enlazar con:

http://contenidosparaaprender.mineducacion.gov.co/G_9/M/index.html

PLAN DE TRABAJO

Temáticas (semanas) Contenidos
Elaborando ecuaciones algebraicas

(Trabajando la CANTIDAD, EL ESPACIO Y LA FORMA)

Expresiones algebraicas en un texto

·         Situaciones de suma y resta

·         Situaciones de multiplicación y división

·         Situaciones de potenciación y radicación

Expresiones algebraicas en geometría

·         Agrupación de áreas

·         Áreas sombreadas

·         Triángulos

·         Teorema de Tales de Mileto

·         Teorema de Pitágoras

Representaciones algebraicas

·         En la recta numérica

·         En el plano cartesiano

·         En perspectiva

 

Simplificando ecuaciones algebraicas

(Trabajando EL CAMBIO Y LAS RELACIONES)

Factorización
Solucionando ecuaciones algebraicas

(Trabajando EL CAMBIO Y LAS RELACIONES)

Despeje de incógnitas
Métodos de solución ecuaciones de primer grado
Métodos de solución ecuaciones simultáneas de primer grado
Métodos de solución ecuaciones de segundo grado
Estadística y probabilidad

(Trabajando la INCERTIDUMBRE)

Expresiones algebraicas en Estadística

 

TEXTO Y CONTEXTO EN MATEMÁTICAS

Aprender a ver las matemáticas en toda situación real es una necesidad de quien intenta adquirir una experiencia motivadora en esta área. Reconocer que todo fenómeno de la naturaleza tiene una imagen abstracta, una representación matemática es al inicio algo difícil, pero no es imposible.

Desde que nos levantamos hasta que nos acostamos hacemos matemáticas. Tus movimientos durante el día son una ecuación donde el espacio, la velocidad, la trayectoria, el tiempo y un sinnúmero de variables afectan el desplazamiento de tu cuerpo, la materia que constituye tu cuerpo, tus átomos, moléculas  se mueven constantemente a través de una danza electrónica que puede ser expresada mediante el  lenguaje probabilista de las matemáticas.

Son muchas las situaciones en las que las matemáticas operan, para tu comprensión se han clasificado así : SITUACIONES PERSONALES que te afectan directamente, SITUACIONES EDUCATIVAS O LABORALES que se encuentran en el colegio o en un lugar de trabajo, SITUACIONES PÚBLICAS que se refieren a la comunidad y SITUACIONES CIENTÍFICAS que son las mas abstractas…por no decir difíciles (todo un reto para ti).

Para iniciarnos en este mundo de percepción matemáticas partiremos con el TEXTO ESCRITO como elemento para reconocer un proceso científico y aprender a mirar con los lentes de las matemáticas.

EJERCICIO DE LECTURA 1

1 PASO LEER CON ENTUSIASMO EL TEXTO: involucrarse con la lectura, encontrar elementos que llenen tu mente de intriga…

texto 1

TOMADO DE: Cosmos en el atomismo de Leucipo y Demócrito: pluralidad, generación y corrupción. Guillermo Coronado. Editorial senderos, pág. 537.

En el anterior texto surgen interrogantes, palabras y personajes que desconocemos, debemos descartar lo que no es de interés directo del texto.

2. BUSCAMOS LAS IDEAS PRINCIPALES Y LOS CONCEPTOS PRINCIPALES

texto 2

Cada párrafo tiene su idea principal, que entre otras características debe consolidar y sintetizar de manera coherente  el contenido del párrafo.

Aparecen además conceptos de profundización como los que se encuentran en color naranja, algunos que simplemente los resuelves con un diccionario que te los re interpreta en color azul y otros que son meramente biográficos, históricos o geográficos para indagar.

3. INDAGAMOS Y PROFUNDIZAMOS EN LOS CONCEPTOS

LOS INFINITOS MUNDOS

El universo o Cosmos esta lleno de elementos, algunos representados por el hombre con ayuda de la ASTRONOMÍA y otros aún por descubrir. Desde ESTRELLAS, PLANETAS, SATÉLITES, NEBULOSAS, QUASARS, ESTRELLAS DE NEUTRONES, METEOROS, ASTEROIDES, COMETAS, etc. hasta las mas sofisticadas teorizaciones del espacio como AGUJEROS DE GUSANO, AGUJEROS NEGROS y otras.

Y matemáticamente que nos podría interesar? aquí te presento dos elementos ( pueden existir mas) que nos interesan matemáticamente:

LA FORMA DEL UNIVERSO

forma

Tomado de: http://www.agenciasinc.es/Reportajes/La-foto-imposible-del-universo

Que nos muestra la GEOMETRÍA posible del Cosmos.

 

EL TAMAÑO DEL UNIVERSO

tamaño

Tomado de: http://www.emiliosilveravazquez.com/blog/2013/10/23/la-masa-del-universo-la-inflacion-el-tamano%E2%80%A6ii/

Que no solo nos demuestra lo insignificante que somos en comparación del universo, sino que nos habla de MEDIDAS Y  DISTANCIAS que son interés de las matemáticas.

 

EL ATOMISMO GRIEGO

Vale la pena pensar en esta épocas pasadas y en la capacidad que tenían algunas personas para abstraer en su mente conceptos que aún la ciencia maneja y profundiza cada día mas.

Hablamos de personajes como LEUCIPO, DEMÓCRITO, EPICURO Y LUCRECIO quienes concibieron el término ATOMO como respuesta a la pregunta fundamental: CUAL ES EL PRINCIPIO DE TODAS LAS COSAS?

A partir de ahí, han existido diferentes interpretaciones y representaciones GEOMÉTRICAS de el átomo:

el atomo

Tomado de: https://sites.google.com/site/proyectocabaga/modelos-atomicos

Esas formas y figuras geométricas que describen las órbitas de las partículas atómicas son de gran interés para las matemáticas.

Además podemos indagar en la GEOGRAFÍA de esta cultura:

Resultado de imagen para mapa fisico de europa

http://jossoriohistoria.blogspot.com.co/2013/05/mapa-fisico-de-europa-mudo.html

Aquí no solo encontramos los conceptos matemáticos de ÁREA territorial, sino de PARALELOS Y MERIDIANOS que permiten la medición del TIEMPO y de las Zonas TÉRMICAS de la tierra. Todo lo que se puede expresar con la matemáticas y sus ecuaciones.

Y como un apunte adicional….mira cuantas partículas integran el átomo:

particulas

Tomado de:  https://eltamiz.com/esas-maravillosas-particulas/

Muchas de ellas solo se pueden visualizar mediante las matemáticas.

Y continuando sobre los griegos otro tema a indagar que puede tener una connotación en las matemáticas es:

LA COSMOLOGÍA GRIEGA

COSMOLOGIA

y porque nos interesa tanto a los matemáticos este concepto?, pues entre otras cosas porque uno de estos personajes es PITAGORAS. Ahí te dejo la inquietud.

CONCEPTOS DE SIMPLE INTERPRETACIÓN

Con la ayuda del diccionario podemos entender algunas palabras que nos parecen de difícil comprensión

engendrar

Del lat. ingenerāre.

  1. tr. Dicho de una persona o de un animal: Dar vida a un nuevo ser. U. t. c. intr. Ya estáenedad de engendrar.
  2. tr. Causar, ocasionar, formar. U. t. c. prnl

perecedero, ra

  1. adj.Poco durable, que ha de perecer o acabarse.
  2. m. coloq. Necesidad, estrechez o miseria en las cosas precisas para el sustento humano

semejante

  1. adj.Que semeja o se parece a alguien o algo. U. t. c. s.
  2. adj.U. con sentido de comparación o ponderación. No es lícito valerse de semejantes medios.
  3. adj.U. con carácter de demostrativo, equivale a tal. No he visto semejante lío.
  4. adj.Geom. Dicho de una figura: Que es distinta a otra solo por el tamaño y cuyas partes guardan todas respectivamente la misma proporción.
  5. m. Semejanza, imitación.
  6. m. prójimo.
  7. m. desus. Símil retórico.

plural

Del lat. plurālis.

  1. adj.Múltiple, que se presenta en más de un aspecto. Alardeaba de su pluralconocimiento en el campo de las ciencias.
  2. adj.Gram. De número plural. Sintagma nominal plural.
  3. m. Forma gramatical que posee número plural.El plural de casa es casas.

4. m. Gram. número plural.

tesis

Del lat. thesis, y este del gr. θέσις thésis.

  1. f. Conclusión, proposición que se mantiene con razonamientos.
  2. f. Opinión de alguien sobre algo.
  3. f. Disertación escrita que presenta a la universidad el aspirante al título de doctor en unafacultad.
  4. f. Mús. Golpe en el movimiento de la mano con que se marca alternativamente elcompás.

unicidad

  1. f. Cualidad de único

Tomado de: http://dle.rae.es

CONCEPTOS BIOGRÁFICOS

Esos conceptos te corresponden indagarlos, descubre quienes fueron estos personajes y porque están unidos en este texto.

4. ELABORAMOS UN MAPA CONCEPTUAL DEL TEXTO

En el proceso de lectura consciente no hay nada mejor para guardar nuestras ideas que un mapa conceptual que recoja en forma condensada la lectura:

mapa

 

SITUACIONES REALES Y EXPRESIONES MATEMÁTICAS

Cada vez que se enuncia un problema o DESCRIBIMOS UNA SITUACIÓN DEL MUNDO QUE NOS RODEA escribimos un texto, un texto que se puede interpretar en ecuaciones, si reconocemos las variables y los valores.

Iniciemos con algo sencillo:

Si yo digo EN LA MALETA TENGO CINCO COLORES Y UN LAPIZ

Podría interpretar la MALETA como el lugar donde se encuentran unidos los COLORES y el LAPIZ.

Los COLORES puedo interpretarlos como una variable, la letra que yo escoja, puede ser la C que es la primera de la palabra COLORES, es decir que en la MALETA tengo 5C (5 colores).

El LAPIZ igualmente lo puedo interpretar y representar con la L, es decir que en la MALETA tengo 1L (1 Lápiz).

Igualmente podría deducir que en la MALETA tengo en total la UNION de los 5 Colores y 1 Lápiz, es decir una SUMA.

De Esta forma el TEXTO:

EN LA MALETA TENGO CINCO COLORES Y UN LAPIZ = 5C + 1L = 5C + L

Recordando que el número 1 antes de una letra según las características del álgebra no se escribe.

A partir de este hecho, TODA SITUACIÓN  PUEDE LLEVARSE A UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA.

Vamos entonces a escribir varios texto en forma de expresión matemática, aquí toca que recuerdes cada operación matemática que has realizado hasta el momento.

SITUACIONES  QUE IMPLICAN SUMAS Y RESTAS

1) La suma de las edades de A y B es 56 años, B tiene 4 años menos que A.

A+B= 56    A – 4 = B

2)  Pagué 300 por un par de medias, una corbata y un libro. La corbata costó 40 más que el par de medias y 120 menos que el libro.

M = par de medias       (Aquí estamos identificando las variables con una letra!)

C = Corbata

L = Libro

M + C + L = 300

C = M + 40

C = L – 120

3) La suma de tres números enteros consecutivos es de 200.

A = número menor

B = número intermedio (B = A + 1)

C = número mayor (C = B + 1) (C = A + 2)

A + B + C = 200

SITUACIONES QUE IMPLICAN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

4) La edad de A es el doble que la de B y ambas edades suman 20 años.

A = 2B       A + B =  20

5) Se compran huevos, queso y leche por $3500. La leche costó el doble que el queso  y el queso costó el triple que los huevos.

X= precio de los huevos

Y= precio del queso

Z= precio de la leche

X + Y + Z = 3500

Z = 2Y

Y = 3X

EJERCICIOS PARA TRABAJAR 1:

6) La edad de José es la mitad de la de Pedro, y la de Juan el triple que la de José. Y las tres edades suman 125 años.

7) Dividir 150 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivale al duplo de la mayor.

8) La edad de A es el doble de la B y hace 15 años la edad de A era el triple de la de B.

9) Se compraron 60 frutas entre naranjas y manzanas. Cada naranja costó $40 y cada manzana $85. El total de la compra fue de $5600.

10) El duplo de un número excede en 30 al tercio del mismo número

11) La suma de dos números es 50 y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5.

12) Juan tenía cierta suma de dinero. Gastó $20 en libros y los dos tercios de lo que le quedaba en lápices. Le quedan todavía $35.

13) La edad de X es la mitad de la de Y, y hace 10 años la edad de X era cinco cuartos de la edad de Y.

14) La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 metros. Si cada dimensión se aumenta en 2 metros, el área aumentaría en 60 metros cuadrados.

15) La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 2 a la cifra de las unidades y si el número se divide por la suma de sus cifras, su cociente es 5.

Luego de realizar los anteriores ejercicios, puedes consultar sus soluciones aquí: soluciones ejercicios 1

SITUACIONES QUE IMPLICAN POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

16) X es dos años mayor que Y y la suma de los cuadrados de ambas edades es 100 años

X = Y + 2

7

17) El producto de dos números es 30 y su cociente es 5.

X = primer número

Y = segundo número

XY = 30

8

LECTURA RECOMENDADA:

Vamos a leer EL HOMBRE QUE CALCULABA de MALBA TAHAN. Son Dos capítulos por semana que debes leer y presentarlos SUBRAYADOS, TU LISTADO DE CONCEPTOS INDAGADOS Y TU MAPA CONCEPTUAL, ahí te dejo el enlace para que lo descargues y leas:

el-hombre-que-calculaba (1)

Otro texto que trabajaremos durante el semestre y que es de mucha utilidad para ti es el ÁLGEBRA DE BALDOR, aquí te dejo el enlace para que la tengas en tu casa:

algebrabaldor (1)

LECTURA  2 DE RECUPERACIÓN 

Si no realizaste el trabajo de lectura anterior y deseas recuperar este logro, debes leer adicionalmente al texto anterior y realizar iguales trabajos:

El_diablodelosNumeros

Recuerda que siempre tienes la oportunidad de ser mejor, pero cuesta un esfuerzo.

LECTURA 3 DE RECUPERACIÓN 3

Para quienes aún deben todas las lecturas, primero deben hacerlas( Hombre que calculaba capítulos 1,2,3 y 4) ….y luego el trabajo de recuperación 1 y luego el trabajo de recuperación dos que es el siguiente:

Crímenes-del-número-primo

LECTURA 4 DE RECUPERACIÓN 

Además de las anteriores se adiciona a la lista de recuperación esta lectura que pueden descargar en el siguiente enlace:

el-senor-del-cero-maria-isabel-molina1

 

SIMPLIFICANDO LAS EXPRESIONES MATEMÁTICAS.

Es cierto que mediante la suma, resta y otras operaciones simples podemos reducir las expresiones matemáticas teniendo en cuenta los principios del álgebra en cuanto a la semejanza de términos.

Sin embargo la FACTORIZACIÓN es uno de los métodos más empleados en este trabajo de simplificación.

Recordemos los casos de FACTORIZACIÓN

18

19

20

 

RESOLVIENDO LAS EXPRESIONES MATEMÁTICAS

Una de las actividades más reconocidas de las matemáticas es el hallazgo de soluciones a los problemas que se derivan de las expresiones matemáticas que representan el MUNDO REAL y sus SITUACIONES.

DESPEJANDO INCÓGNITAS

Una de las formas de encontrar el valor de las variables desconocidas (incógnitas) es mediante el procedimiento de DESPEJE, el cual consiste en separar una variable de otras a través de operaciones contrarias a las que existen entre ellas.

CASOS DE OPERACIONES DE SUMA Y RESTA

EJEMPLO :Despejar x de la ecuación:

x + 4 = 2x

la x de los términos de la izquierda se traslada a la derecha y  cambia de signo ( el que suma pasa a restar).

4 = 2x – x

se simplifican los términos de la derecha por ser semejantes.

4 = x

CASOS DE OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

EJEMPLO :Despejar de la ecuación la letra y:

21

el número 5 del denominador de los términos a la izquierda pasa a multiplicar al 9 que es el término de la derecha. (el que divide pasa a multiplicar)

3y = 45

el número 3 que acompaña la letra y la multiplica pasa dividir al  número 45 que es el término de la derecha. (el que multiplica pasa a dividir)

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CASOS DE OPERACIONES CON POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

EJEMPLO: Despejar de la ecuación la letra a:

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La letra b que multiplica a la letra a, pasa a dividir al número 27.

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La potencia cúbica pasa como una raíz cúbica al miembro de la derecha

25

EL TEXTO GRÁFICO: LA GEOMETRÍA Y LAS  EXPRESIONES MATEMÁTICAS

Todo objeto del mundo tiene una configuración llamada FORMA que es considerada en la ciencia como una propiedad o una variable de algo que llamamos MATERIA en cualquiera de sus estados FÍSICOQUIMICOS.

La comprensión que hace de la naturaleza la ciencia, acerca de este concepto de FORMA (Ver CONCEPTUALIZANDO1)  es tratado por la matemática a partir de la GEOMETRÍA. Para nuestro interés realizaremos mediciones en una dimensión (perímetros), en dos dimensiones (áreas) y en tres dimensiones (volumen) de la FORMA de ciertos objetos.

EL ORIGEN DE LA FORMA

Así como cualquier TEXTO parte de un CONTEXTO real que está inmerso en las palabras y que podemos escribir en el TEXTO ABSTRACTO DE LAS MATEMÁTICAS. La FORMA y la MEDIDA tiene su CONTEXTO en la NATURALEZA.

panal

Tomado de: https://www.elconfidencial.com/multimedia/album/tecnologia/2015-02-28/las-matematicas-de-la-naturaleza_719480/

¿Qué hace que la naturaleza construya en una determinada forma?

Para responder a esa pregunta acudo a las palabras de mi maestra Janine Benyus cuando nos habla de la BIOMÍMESIS:

Existe una estabilidad dinámica entre todos los seres naturales, cuyas funciones, estructura y vida presentan un equilibrio, esto es debido a que:

• Funcionan con la luz solar.
• Utilizan únicamente la energía necesaria.
• Adecúan forma y función.
• Reciclan todo.
• Recompensan la cooperación.
• Acumulan diversidad.
• Contrarrestan los excesos desde el interior.
• Utilizan la fuerza de los límites.
• Aprenden de su contexto.
• Cuidan de las generaciones futuras.

Bajo las anteriores reglas la naturaleza construye las FORMAS y las DIMENSIONES del mundo.

Tratemos entonces de reconocer estas cualidades en su diseño.

LAS  FORMAS ESPIRALES: SERIES DE FIBONACCI, SECCIONES ÁUREAS

espirales

Tomado de: http://www.matematicasdigitales.com/matematicas-en-la-naturaleza/

espiral

Tomado de: https://oldearth.wordpress.com/2008/09/11/%C2%BFson-los-huracanes-consecuencia-de-un-diseno-inteligente/

LAS FORMAS ESPIRALES: ESPIRALES LOGARÍTMICAS

logaritmos

Tomado de: http://www.matematicasdigitales.com/matematicas-en-la-naturaleza/

 

LAS FORMAS GEOMÉTRICAS: POLÍGONOS REGULARES

calzada

Tomado de: http://ciencia-bizarra.blogspot.com.co/2014/06/matematicas-y-naturaleza-i.html

ojos compuestos

Tomado de: http://matemolivares.blogia.com/temas/matematicas-y-geometria-en-la-naturaleza..php

LOS SINTAGMAS EN LA NATURALEZA

sintagma 2

sintagma 3

sintagma 4

Tomado de: https://carlosnacazona.wordpress.com/2010/06/22/sintagmas-de-la-naturaleza/

Los POLÍGONOS IRREGULARES

irregular

Tomado de: http://matemolivares.blogia.com/temas/matematicas-y-geometria-en-la-naturaleza..php

 

LOS REFLEJOS DE LA NATURALEZA: LAS SIMETRÍAS

Resultado de imagen para simetrias naturaleza

Tomado de: http://www.tipos.co/tipos-de-simetria/

Imagen relacionada

Tomado de: https://www.stillnessspeaks.com/zen-practice-henry-shukman/

EL CRECIMIENTO NATURAL:  LOS FRACTALES

Resultado de imagen para fractales naturales

Tomado de: http://pijamasurf.com/2010/09/top-11-patrones-fractales-en-la-naturaleza/

Resultado de imagen para fractales naturales

Tomado de: http://angelfebrero.blogspot.com.co/2005/12/formas-fractales-en-la-naturaleza.html

Imagen relacionada

http://digitalhiggs.com/index.php/expresion-digital/item/437-la-perfeccion-infinita-de-la-naturaleza-fractales

 

fractal 2

Tomado de: https://www.flickr.com/photos/roddh/307187374

fractal 3

Tomado de: https://articulosletraviva.wordpress.com/2010/04/19/matematicas-en-la-naturaleza/

Resultado de imagen para fractales naturales

Tomado de: https://lamaletademaxweb.wordpress.com/2017/07/17/fractales/

Imagen relacionada

Tomado de: https://steemit.com/science/@konstantin/sacred-geometry-in-nature-fractals-fibonacci-golden-section-or-proportion-of-god

Todas las FORMAS Y DIMENSIONES NATURALES tienen una razón de ser, no hay capricho en la naturaleza. La MATEMÁTICA es testigo de la perfección de la naturaleza.

Es a partir de las FORMAS y DIMENSIONES NATURALES que el hombre crea sus primeras figuras geométricas y sus primeras unidades de medición.

midiendo naturaleza 1

Tomado de: http://naturalezadealbolote.blogspot.com.co/2013/04/matematicas-en-la-naturaleza.html

mi

Tomado de: https://www.fayerwayer.com/2010/02/fotografia-todo-en-la-naturaleza-son-matematicas/

Se hace necesario que hagamos un recorrido por estas diversas formas de ABSTRAER  la FORMA y LA DIMENSIÓN NATURAL. Empecemos por el mundo de la PRIMERA Y SEGUNDA DIMENSIÓN:

PERÍMETROS y ÁREAS

Inicialmente recordemos que un PERÍMETRO es la suma LINEAL de todos los lados que forman una figura geométrica, el concepto básico se calcula mediante las fórmulas que se encuentran en la siguiente figura, pero tú igualmente lo puedes deducir.

Imagen relacionada

Tomado de: https://www.slideshare.net/AmarinoMoisesLaraGonzalez/formula-poligonos

En los POLÍGONOS REGULARES es decir aquellos cuyos lados son iguales, simplemente el PERÍMETRO puede ser hallado sumando el tamaño de cada lado (que es igual) un número de veces igual a su número de lados. Esta operación de SUMA se puede SIMPLIFICAR en una operación de MULTIPLICACIÓN para este caso.

En los TRIÁNGULOS hay varias formas de obtener el PERÍMETRO:

Tomado de: https://matematica.laguia2000.com/general/perimetro-de-figuras-plana

Que tanto sabemos del TRIANGULO??

TALES DE MILETOS  y la fuente de inspiración

Algunas veces pensamos que la ciencia nace de los genios, de personas predestinadas y aún de países cuya tradición científica se remonta siglos atrás, sin embargo no todo es producto de un destino demarcado; como veremos en está historia… a veces los genios no nacen “como se cree popularmente” sino que se hacen.

La historia biográfica de TALES DE MILETOS es de fácil acceso en cualquier página de internet, lo que interesa a la física tiene que ver con el proceso de generación de ciencia, proceso que inicia este personaje en su juventud de acuerdo a variadas referencias (Diaz, 2002, p. 13) como comerciante en su juventud y que le permite viajar por países de frontera a su ciudad natal Miletos ubicada en pleno centro del imperio Griego : la península de anatolia (actual Turquía), ya podemos imaginarnos este universo rodeado de transeúntes que venían de oriente hacia occidente y viceversa, trayendo historias, inventos y porque no ciencia.

La visión de Hecateo  en su mapa de un mundo circular y  armónico,  influiría cualquier concepción juvenil y animaría a un viajero a desear rodear ese mundo.

Ecateo

TALES DE MILETOS  viaja a Caldea y a Egipto donde recibirá la influencia de estas cosmologías en su pensamiento tal como afirma Josefo ((D-K 11 A 11) Josefo, Contra Apionem I, 2):

“Todos están de acuerdo en que los primeros que entre los griegos filosofaron sobre las cosas celestes y divinas, como Ferécides de Siro, Pitágoras y Tales, fueron discípulos de los egipcios y caldeos”(Tomado de: http://www.filosofia.org/cur/pre/talesfyt.htm)

En Caldea, reino de Mesopotamia no era extraño que el estudio por la astronomía llegara a Tales, los caldeos eran prácticamente en este aspecto adoradores de los planetas como se afirma en algunos pasajes de la Biblia (Martin, 2009, p. 251), la impresionante distribución del espacio geométrico aplicado a la construcción de estas ciudades en Mesopotamia nos hace dar cuenta de la ordenada aparición de la civilización.

Una escritura como la cuneiforme y las tablillas que nos muestran tantos indicios de civilización solo confirman la influencia del pensamiento oriental en el pensamiento occidental.

Observar en estos documentos,  de los cuales posiblemente Tales de Miletos también tuvo conocimiento, nos puede abrir la mente al origen de muchas posturas de los griegos de origen Fenicio.

Tablilla de Sitchin. Tomado de : http://www.taringa.net

Observar la tablilla anterior nos hace nuevamente pensar en el sistema heliocéntrico que tanto defendería Giordano Bruno, Copérnico  y Galileo Galilei entre otros. Las culturas Mesopotámicas a ciencia cierta tenían un conocimiento del cosmos que influiría a todo occidente.

Como si fuera poco, Tales de Miletos viaja a Egipto. Las impresionantes pirámides serán la inspiración de su primer teorema.

La siguiente infografía nos brinda una relación entre el teorema de tales de miletos y su analogía con las pirámides:

tales

El triángulo es desde tiempos muy remotos una figura esencial en el estudio de la matemáticas, la geometría y aunque no lo creas en la filosofía y hasta las religiones.

triangulo sagrado

Imagen relacionada

Tomado de: https://www.slideshare.net/luisubiabre1/tabla-teorema-de-thales

EJERCICIOS 1

Ejercicios: https://www.slideshare.net/xto316/teorema-de-thales-prueba-rocket?next_slideshow=1

PITAGORAS y su teorema

aunque PITAGORAS DE SAMOS (569 – 475 a.c.) haría muy famosa esta figura geométrica ya existían vestigios de su fama en otras culturas:

pitagoras antes 1

salvasutras

Pitagoras es conocido por todos y su ecuación ( esta ecuación es fundamental en la física y la trigonometría):

PITAGORAS

Y estudiada durante mucho tiempo:

piagoras de todo tiempo

Luego de la historia, calculemos el valor de los lados del triángulo rectángulo, empleando el teorema de Pitágoras.

EJERCICIOS  2

Tomado de: http://demostremosloaprendido.blogspot.com.co/2014/08/teorema-de-pitagoras.html

CURIOSIDADES DE LA GEOMETRÍA PLANA

Resultado de imagen para mapa mental geometria plana

Tomado de: https://www.pinterest.cl/pin/296956169171548402/

HIPASO DE METAPONTO….y el teorema de pitágoras

Usualmente se suele pensar que el nombre de los teoremas es debido a su autor. Si escuchamos continuamente que se llama teorema de PITÁGORAS es porque este personaje lo inventó.

Sin embargo como vimos en las imágenes anteriores mucho tiempo antes del nacimiento de PITÁGORAS esta relación entre los lados de un triangulo rectángulo y su hipotenusa era ya estudiada. Mas curioso aún que en la famosa ESCUELA PITAGÓRICA pudiese ser posible que el verdadero autor del teorema no fuera PITÁGORAS sino uno de sus discípulos, un tal HIPASO DE METAPONTO.  La verdad queda para que tu la indagues.

En este capítulo me interesa que sepas que HIPASO DE METAPONTO se hizo una pregunta bastante interesante con el teorema…¿ Si los lados del triangulo rectángulo tienen el mismo valor a la unidad, cuanto vale la hipotenusa?

31

 

Tomado de: http://matesparasaltamontes.blogspot.com.co/2016/02/hipaso-de-metaponto.html

Pues como se puede ver en la imagen al aplicar el famoso teorema nos encontramos conque el resultado es una raíz, del número dos en este caso.

30

Cuyo resultado es un número irracional, es decir un número primero que no tiene fin, y segundo que no tiene una secuencia repetitiva, es decir que no sabemos por lógica que numero sigue en su secuencia de resultados.

¿pero entonces se preguntó HIPASO DE METAPONTO como es posible que dos números enteros ( 1 en cada lado del triangulo), dos números considerados perfectos… nos de como resultado un número irreconocible, un número que no se puede medir?

Y mas aún nos preguntamos y ¿como es posible que lo podamos dibujar en una recta numérica sino tiene fin, es decir es inconmensurable? pues bien si se puede…aqui se ve su representación gráfica:

 

Resultado de imagen para raiz de dos

Tomado de: http://emaspi2eso.blogspot.com.co/2010/05/

Construimos sobre el plano cartesiano un triangulo con lados de valor unitario y su diagonal (hipotenusa) proyectada con ayuda de un compás se transforma en el valor raiz de dos solicitado. Lo mismo podemos hacer con otros números irracionales:

33

Y de esta manera lo hacemos sucesivamente con diferentes números irracionales:

Tomado de: http://todomaths4eso.blogspot.com.co/p/blog-page.html

e incluso podemos crear una espiral con estos valores:

Tomado de: http://todomaths4eso.blogspot.com.co/p/blog-page.html

INDAGACIÓN 1

Tenemos dos números irracionales que esperamos indagues a cabalidad, desde quien lo descubre…hasta su forma de representación en la recta numérica:

                          Resultado de imagen para número de neper

ÁREA SOMBREADA

Con el dato de la tabla de áreas para figuras geométricas podemos calcular el área de diversas figuras:

EJEMPLO

Calcular el área sombreada de la figura. Como observamos el área gris o sombreada se obtiene al restar el área de un cuadrado de 8 cm de lado y el área de dos mitades de un círculo cuyo radio es de 4 cm:

10

EJERCICIOS 3

11

Tomado de: https://www.slideshare.net/asteteli/areas-sombreadas-57320341

12

Tomado de: https://www.pinterest.es/pin/185351340891950872/

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Cuando sustituimos los valores numéricos de los lados de una figura geométrica por expresiones algebraicas obtenemos una nueva interpretación de la geometría:

EJEMPLO 1 CALCULAR EL PERÍMETRO:

Tomado de: http://mate2tec31.blogspot.com.co/2012/11/cual-es-el-perimetro-de-la-siguiente.html

Elaboramos un polinomio para sumar los lados de la figura:

(2x) + (2x) + (7x-50) + (4x-10) + (x) + (x+10) + (5x-20) + (10x-30)

Resolvemos los paréntesis y agrupamos los términos:

2x +2x +7x +4x +x +x +5x +10x -50 -10 +10 -20 -30

Realizamos las operaciones indicadas y obtenemos el resultado que es un binómio:

 

EJEMPLO 2 CALCULAR EL ÁREA

9

En la figura anterior vemos que al agrupar cada área independiente obtenemos una sola figura geométrica cuya expresión algebraica es un trinomio, caso 7 de factorización.

 

EJEMPLO 3 CALCULAR EL ÁREA SOMBREADA

13

Como se puede observar el área sombreada es el resultado de la resta entre el área del rectángulo y los 4 cuadrados de las esquinas. Luego se factoriza caso 1 y se aplica caso 4 para obtener el resultado presentado.

LA TERCERA DIMENSIÓN : VOLUMEN

Las tres dimensiones, es la expresión que involucra el conocimiento de los objetos con volumen, para los cuales existen ya fórmulas para su cálculo:

14

Tomado de: https://mauriciomedinasierra.wordpress.com/primer-corte/conceptos/volumen/tabla-de-areas-y-volumenes-figuras-geometricas/

También se puede consultar: http://blogdecarina.blogspot.com.co/2014/02/volumen-cuerpos-geometricos.html

En la tabla anterior se observa además del nombre y la forma de la figura tridimensional, el desarrollo del sólido correspondiente para su elaboración a partir de una superficie plana. Existe una columna donde aparece el cálculo del área superficial de cada figura y la ecuación del cálculo del volumen.

Gracias a estos valores podemos hacer cálculos con expresiones matemáticas:

EJEMPLO 1

15

Tomado de: http://cremc.ponce.inter.edu/algebrageometrica/taller1.htm

 

EJEMPLO 2

16

Tomado de: https://es.slideshare.net/MATEMATICASEEMM/polinomios-2700548

EJERCICIO 4

Calcular el volumen y simplificar la expresión algebraica.

17

Tomado de: http://ww2.educarchile.cl/PORTAL.HERRAMIENTAS/SIMCE2006/Ejercicios/Diagnostica_Segundo.aspx?sector=2&nivel=2&id_Eje=98

 

REPRESENTACIÓN VOLUMETRICA MEDIANTE PERSPECTIVA

Existen muchas formas de representar mediante el empleo del DIBUJO TÉCNICO una figura de volumen. Hagamos un alto y observemos este desarrollo de la geometría en el ARTE. Consideraremos solo tres formas de representación:

PERSPECTIVA CABALLERA

Esta forma de representación maneja una de las caras del objeto a 45 grados.

Perspectiva 01.svg

 

Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_caballera

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA

Esta se caracteriza por representar un objeto en posición angular de 120 grados entre sus ejes

Perspectiva 08.svg

Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_isom%C3%A9trica

TALLER DE MODELOS ISOMÉTRICOS

Realizar el siguiente taller: Obteniendo las tres vistas principales de cada uno de los modelos isométricos. No es necesario elaborar las figuras. Puedes hacer hasta cuatro soluciones por hoja de papel milimetrado. Dale click al enlace siguiente, descarga e imprime el taller. Lo resuelves en hojas de papel milimetrado:

taller modelos isométricos recuperación

PERSPECTIVA DE PUNTOS DE FUGA

Esta se presenta en tres tipos:

PERSPECTIVA DE UN PUNTO DE FUGA:

Tomado de: http://plasticandoenlaeso.blogspot.com.co/2015/06/perspectiva-conica-con-1-punto-de-fuga.html

PERSPECTIVA DE DOS PUNTOS DE FUGA

Resultado de imagen para perspectiva de dos punto de fuga

Tomado de: http://mumng.blogspot.com.co/2014/08/97-fundamentos-de-diseno-dibujo-de.html

PERSPECTIVA DE TRES PUNTOS DE FUGA

 

Tomado de: http://infocristobalina9.blogspot.com.co/2016/05/ejercicio-3-perspectiva-dos-puntos-de.html

HACIENDO UN PARÉNTESIS

Bien hasta este momento tu mente ha realizado un proceso que en matemáticas recibe el nombre de MATEMATIZACIÓN, si sé que es un poco complicado y por eso no empece a explicarte las matemáticas bajo este concepto. Pero es justo y necesario que te enteres como trabaja en tu cerebro todas las cosas que te cuento.

La MATEMATIZACIÓN implica en primer lugar traducir los problemas desde el mundo REAL al mundo MATEMÁTICO, este proceso se llama MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL (según los científicos) y consta de varias actividades en tu mente:

  • Identificar que tanto de matemáticas tiene un problema del mundo real
  • Representar el problema de manera diferente
  • Comprender la relación entre la situación real y la representación simbólica de la misma
  • Encontrar regularidades, relaciones y patrones
  • Reconocer semejanzas con otros problemas ya conocidos
  • Traducir el problema a un modelo matemático
  • utilizar las herramientas y recursos adecuados para su solución

En segundo lugar ( LUEGO DE LEER EL CAPÍTULO: EN BUSCA DE LAS SOLUCIONES, que se encuentra a continuación) que espero que realices un proceso de MATEMATIZACIÓN VERTICAL, es decir una vez tengas esa expresión matemática que representa el problema apliques las destrezas operacionales de la matemáticas para ir mas allá:

  • Utilizar diferentes representaciones
  • Usar el lenguaje matemático y sus operaciones
  • Ajustar los modelos matemáticos
  • Argumentar
  • Generalizar
  • Entender los límites de los conceptos matemáticos
  • Reflexionar sobre los argumentos matemáticos, explicar y justificar los resultados
  • Comunicar el proceso y la solución
  • Criticar el modelo y sus límites, para mejorarlo.

EN BUSCA DE LAS SOLUCIONES 

 

SOLUCIONANDO PROBLEMAS DE UNA INCÓGNITA MEDIANTE DESPEJE

De las situaciones vistas anteriormente las planteadas los ejercicios 10 y 12 tienen una sola variable que a su vez es la incógnita, mediante despeje podemos hallar su valor:

EJEMPLO 1 : Resolver el Ejercicio 10 presentado anteriormente

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Pasamos los miembros con letra a la izquierda (Cambiando su signo)

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Realizamos las operaciones

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Despejamos la letra x,  el 3 pasa a multiplicar y el 5 a dividir

29

EJEMPLO 2: Resolver el Ejercicio 12 presentado anteriormente

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SOLUCIONANDO PROBLEMAS DE DOS INCÓGNITAS

Cuando tenemos mas de una incógnita por resolver ( ejercicio 1 por ejemplo) la situación es diferente por cuanto debemos tener como mínimo un número de ecuaciones igual al número de incógnitas, lo cual nos garantiza tener UNA SOLUCIÓN ÚNICA para cada incógnita. En caso que el número de ecuaciones sea menor que el número de incógnitas podemos tener VARIADAS SOLUCIONES para la misma incógnita.

Un problema de este caso sería:

El perímetro de un cuarto rectangular es de 18 m, y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones del cuarto y su área.

Debemos recordar primero que es un perímetro y un área para el caso del rectángulo:

32

Tomado de: http://slideplayer.es/slide/1023628/

Las variables serían:

b= largo

a= ancho

Las expresiones algebraicas que representan mediante ecuaciones el problema serían:

(1) 2a + 2b = 18

(2) 4b = 5a

Bien, existen 5 formas de solucionar este tipo de problemas:

IGUALACIÓN

igualación

SUSTITUCIÓN

sustitución

REDUCCIÓN

reducción

DETERMINANTES 

determinantes

GRÁFICO

grafico 1

grafico

En el lugar donde se cruzan las dos líneas ( cada línea representa una expresión algebraica) es la solución al problema.

SOLUCIONANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE SEGUNDO Y  OTROS GRADOS

Cuando las expresiones algebraicas no son de primer grado se aplican otras soluciones.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Aunque hay mas tipos de soluciones para estas ecuaciones, aquí te explicaré dos tipos:

MEDIANTE LA ECUACIÓN DEL TÉRMINO DISCRIMINANTE

El término DISCRIMINANTE aunque parezca malo, nos permite en la matemática “desechar” o no un problema de segundo grado. Si el resultado de este término es negativo lamentablemente no hay solución  REAL a nuestro problema (ingresamos al mundo de los NÚMEROS COMPLEJOS), si el resultado nos da cero entonces hay solo una solución, pero si el resultado es positivo significa que tenemos dos respuestas.

Bien recordemos una expresión algebraica de segundo grado (la mas general un caso 7 de factorización):

ax + bx + c = 0

 

al cual le podemos calcular el término discriminante mediante la ecuación:

– ac

La fórmula cuadrática nos permite entonces hallar las soluciones posibles:

Obviamente los resultados obtenidos tienen una REPRESENTACIÓN GRÁFICA que en este caso se llama PARÁBOLA.

cuando el DISCRIMINANTE ES POSITIVO (tenemos dos soluciones o intercepciones en el eje (x)), como ejemplo ( las gráficas son tomadas de :https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/discriminant)

cuando el DISCRIMINANTE ES CERO (tenemos una solución o intercepción con el eje (x) ), como ejemplo:

y cuando el DISCRIMINANTE ES NEGATIVO no hay punto de corte con el eje (x), como ejemplo:

entonces resolvamos un caso de estos:

EJEMPLO

Resuelva la ecuación cuadrática.

– – 12 = 0

Aquí = 1, – 1, y – 12. Sustituyendo, obtenemos:

Simplificamos.

El discriminante es positivo ( nos da como resultado 49), así tenemos dos soluciones:

= 4 y – 3

La gráfica que obtenemos es la siguiente:

parabola

como se puede observar sus puntos de intercepción con el eje (x) son (x= -3) y (x= 4).

MEDIANTE FACTORIZACIÓN

Como ya has visto la factorización nos brinda la posibilidad de simplificar una expresión algebraica hasta el punto de obtener por simple inspección sus raíces o soluciones posibles.

EJEMPLO

Trabajando con el ejemplo anterior:

– – 12 = 0

Observamos que es un caso 6 de factorización, abrimos dos paréntesis y escribimos dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término de la ecuación anterior. En el primer paréntesis es precedida por el signo menos que es el signo que acompaña el segundo término de la ecuación inicial. En el segundo paréntesis el signo depende de la multiplicación de los dos signos de la ecuación inicial, en este caso el resultado es positivo ( – por – nos da +).

(x –    )(x +   )

ahora debemos encontrar los segundos términos de los binomios anteriormente planteados;  dos números que multiplicados nos den como resultado -12 y que restados nos den como resultado -1.

(x – 4)(x + 3)   donde se cumple que    (-4)(3)= 12      y   -4 + 3 = -1

Cada expresión algebraica, o binomio para este caso representa una solución al problema, para obtener dicho resultado igualamos a cero cada binomio:

x – 4 = 0    de donde despejamos  x = 4

x + 3 = 0   de donde despejamos  x = -3

Que son los resultados a el problema.

OTROS GRADOS DE ECUACIONES

Para solucionar ecuaciones de grados mayores existen variados teoremas y ecuaciones para resolver, sin embargo puede ser considerado mas sencillo el método anterior.

MEDIANTE FACTORIZACIÓN PARA OTRAS ECUACIONES

ECUACIONES CÚBICAS y OTRAS

Revisa la ecuación, si tiene una letra constante entonces factoriza y transfórmala en una ecuación reconocida:

EJEMPLO

2x +32 – 2x    Factorizamos caso 1

x(2x+3x  – 2)    Entre el paréntesis nos queda el caso 7 de factorización

x(x  + 2)(2x  – 1)    Tenemos ahora tres raíces. Igualando a cero:

x = 0   primera solución

x  + 2 = 0   despejando   x = -2  segunda solución

2x – 1 = 0   despejando   x = 1/2 = 0.5  tercera solución

Si graficamos la ecuación tenemos:

cubica

Donde las soluciones dadas son las intercepciones al eje x.

De igual forma puedes proceder con otros grados de ecuaciones.

Te dejo como interés que indagues la FORMULA DE TARTAGLIA-CARDANO.

FUNCIONES COMO REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Como has observado últimamente, el concepto GRÁFICO de representación de la matemáticas adquiere un valor importante pues nos permite visualizar inmediatamente un resultado.

Conocer las principales formas representativas GRÁFICAS nos facilitaría el trabajo, por eso te invito a observar algunas de estas representaciones en forma de FUNCIONES.

Que importante es poder manejar y reconocer todos los elementos que una gráfica matemática te puede brindar como conocimiento. En este espacio estudiaremos algunas de ellas.

LA LINEA RECTA

De aquí en adelante cuando veas una expresión de uno o dos términos cuyo exponente es igual a la unidad, es decir de primer grado IMAGÍNATE UNA LINEA RECTA, una trayectoria lineal, una pelota que se deja caer desde una altura determinada o un vehículo que se desplaza en linea recta, las lineas que conforman un cuadrado u otra figura geométrica; etc.

De aquí en adelante cuando veas una expresión como  3x + 2 tu mente debe configurarla en una correspondencia con una realidad, como una FUNCIÓN, donde x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente ( de los valores que tome x).

y = 3x + 2

Para su estudio, las ecuaciones de primer grado se pueden configurar así:

y = mx + b

El signo lo he tomado positivo para seguir con el ejemplo.

En esta función conoceremos a la letra m como la pendiente o grado de inclinación que tiene la linea recta; y la letra b como el punto de intercepción con el eje y.

Una pendiente (m) hace referencia al grado de inclinación o variación de y con respecto a x ,  que tiene la línea recta que pasa por dos puntos :

Resultado de imagen para ecuacion de la pendiente de una recta

Tomado de: http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/interpolacion_lineal.html

Como puedes observar la variación se mide como la relación de espacio recorrido en el eje y por cantidad de espacio recorrido en el eje x. La gráfica nos muestra estos espacios en los catetos del triangulo rectángulo que se forma. El cateto adyacente es la variación en x  mientra que el cateto opuesto es la variación en y.

y se calcula a partir de dos puntos sobre la recta mediante la siguiente ecuación:

pendiente

En nuestro ejemplo el número 3 que es positivo representaría la letra m, es decir la pendiente y el número 2 positivo representaría la letra b es decir la intercepción con el eje y.

Grafiquemos la función y miremos otras cosas ( te recuerdo que para elaborar una gráfica en un plano cartesianos debes construir inicialmente una tabla de datos sustituyendo el valor de x por los datos que tu requieras, realizas la operación indicada y obtienes el valor de y; con esos pares de datos construyes tu gráfica) :

lineal

 

 

Analicemos esta gráfica:

  1. Al construirla es un linea recta
  2. Es una línea recta ascendente ( esto es debido a que el signo que acompaña la pendiente m para este caso es positivo (+3))
Tomado de: http://matefacil01.blogspot.com.co/2011/05/funcion-lineal.html

3. Exactamente se corta el eje y en el punto 2 positivo ( tal como lo predecía la ecuación donde b= +2

4. Cuando x = -1 , entonces y = -1

5. Cuando x = -2 , entonces y = -4

6. Se forma un triangulo rectángulo ( en verde) que nos indica la variación de y con respecto a x, si aplicamos la ecuación de pendiente:

pendiente

CONOCIENDO BÁSICAMENTE LA ESTADÍSTICA

Teniendo en cuenta que la Estadística nos permite RECOLECTAR, ORGANIZAR, PROCESAR, ANALIZAR e INTERPRETAR datos, esta es entonces una gran herramienta de trabajo para la matemáticas de la Física.

Algunos conceptos básicos a tener en cuenta son:

POBLACIÓN: Que es el conjunto total de los elementos a estudiar. (EJEMPLO:  los 5230 estudiantes del Colegio)

MUESTRA: Es una parte de la Población que sea representativa de los datos recolectados. (650 estudiantes seleccionados 10 de cada salón)

VARIABLE: Es la característica a medir. Las variables pueden ser:

CUALITATIVAS: Cuando no se pueden medir numéricamente y a su vez pueden ser : NOMINALES: cuando sus valores no se pueden ordenar (EJEMPLO: Sexo, grupo sanguíneo, religión; etc). ORDINALES: cuando sus valores se pueden ordenar ( Poco, muy poco, satisfecho, nada satisfecho, intensidad, etc)

CUANTITATIVAS: Cuanto poseen un valor numérico, se pueden clasificar en: DISCRETAS: cuando solo pueden tomar un valor numérico entero (EJEMPLO: número de hijos). CONTINUAS: Cuando pueden tomar cualquier valor real (EJEMPLO: la altura de las personas)

AGRUPACIÓN DE DATOS

Para facilitar el trabajo con los datos se suelen agrupar en cuadros de FRECUENCIAS. En nuestro caso manejaremos DOS tipos de AGRUPACIÓN:

  1. AGRUPACIÓN SIMPLE:

    En este tipo de agrupación los datos se transcriben en orden ascendente directamente en la tabla de frecuencias, un dato por cada fila de la tabla.

es 1es 2

2. AGRUPACIÓN POR INTERVALOS:

En este caso  se crean intervalos para agrupar los datos siguiendo el siguiente procedimiento:

  1. Se calcula el RANGO:

es 3

2. Se calcula el factor K:

es 4

3. Se calcula la AMPLITUD O ANCHO DE CLASE:

es 5

De acuerdo a estos valores se elabora la tabla de la siguiente forma:

es 6

TIPOS DE FRECUENCIAS

Las frecuencias que emplearemos son:

FRECUENCIA ABSOLUTA:

Cantidad de veces que se repite el dato.

FRECUENCIA RELATIVA:

Cantidad porcentual del dato con respecto al total de datos.

Ambas frecuencias se pueden ACUMULAR  o sumar en cada FILA. Al final la tabla de datos AGRUPACION SIMPLE queda de la siguiente forma:

es 7

en AGRUPACIÓN POR INTERVALO quedaría como:

es 8

FORMAS DE PRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS

Para presentar de una forma visual y GRÁFICA los datos se emplean muchas formas de representación entre las cuales tenemos:

DIAGRAMA DE BARRAS

EJEMPLO: para nuestra frecuencia absoluta datos agrupación simple.

es 9

DIAGRAMA LINEAL

EJEMPLO: para nuestra frecuencia absoluta datos agrupación simple.

es 10

DIAGRAMA CIRCULAR

EJEMPLO : para nuestra frecuencia relativa datos agrupación simple.

es 11

ANÁLISIS DE DATOS ESTADÍSTICOS

Existen diversos estudios para el análisis estadístico de datos. Inicialmente veremos los ESTUDIOS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:

es 12

es 13

es 14

es 15

RECUPERACIÓN SEMESTRAL FINAL

Para todos aquellos estudiantes que no alcanzaron el desarrollo total de sus competencias, se presentan a continuación los talleres de recuperación semestral. Cada taller consta de 4 sesiones o clases que están de acuerdo al cronograma. Para cada sesión es un taller que se debe presentar desarrollado, luego se dan las explicaciones del caso y por último se hace una evaluación por cada taller. La suma de todas estas evaluaciones dan la nota final.

TALLER RECUPERACIÓN SEMESTRAL 901

TALLER RECUPERACION SEMESTRAL 902

LOS TEXTOS A LEER EN LOS TALLERES SON LOS SIGUIENTES (DESCARGARLOS E IMPRIMIRLOS PARA SU PRESENTACIÓN):

1 TEXTO: La historia del Algebra en las aulas de Secundaria de Paula Albendea

2 TEXTO:Historia del algebra lineal hasta los albores del siglo XX de Deivi Luzardo

3 TEXTO:Las matemáticas y sus aplicaciones, ayer y hoy. Retos del futuro de Juan Luis Vázquez

4 TEXTO:Matemáticas aplicadas a la vida cotidiana y otros lugares inesperados de Alberto Vargas

5 TEXTO:Ecuaciones de Primer grado su historia. De Mario Dalcin

Para poder hacer las evaluaciones debe presentar los trabajos correspondientes.

Atte

TPJ

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